Question

將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖1擺放．

（1）將圖1中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點P₁是A₁C與AB的交點，求證：CP₁=

2

2

AP₁；
（2）將圖2中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°到△A₂B₂C（如圖3），點P₂是A₂C與AB的交點．線段CP₁與P₁P₂之間存在一個確定的等量關(guān)系，請你寫出這個關(guān)系式并說明理由；
（3）將圖3中線段CP₁繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到CP₃（如圖4），連接P₃P₂，求證：P₃P₂⊥AB．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)可知，△P₁AC是含有特殊角45°，30°的鈍角三角形，作垂線，把問題轉(zhuǎn)化到兩個直角三角形求CP₁，AP₁的關(guān)系；
（2）此時，可推出∠1=30°，∠2=45°，△P₁P₂C是含有特殊角45°，30°的鈍角三角形，類似地作垂線，解直角三角形，確定CP₁，P₁P₂的關(guān)系；
（3）分析旋轉(zhuǎn)角及圖形特征，易證△CP₁P₂≌△CP₃P₂，根據(jù)角的關(guān)系證明垂直．

解答：（1）證明：過點P₁作CA的垂線，垂足為D．
易知：△CDP₁為等腰直角三角形，
△P₁DA是直角三角形，且∠A=30°，
所以CP₁=

2

P₁D，P₁D=

1

2

AP₁，
故CP₁=

2

2

AP₁．

（2）解：過點P₁作CA₂的垂線，垂足為E，
易知：△P₁EP₂是等腰直角三角形，
（其中∠2=∠A+∠P₂CA=45°），
因為△P₁CE是直角三角形，且∠1=30°，
所以CP₁=2P₁E，P₁E=

2

2

P₁P₂，
故CP₁=

2

P₁P₂．

（3）證明：將圖3中線段CP₁繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到CP₃，
易證：△CP₁P₂≌△CP₃P₂，于是∠CP₃P₂=∠CP₁P₂=105°，
∴∠P₁P₂P₃=360°-105°×2-60°=90°，
故P₂P₃⊥AB．

點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，充分運(yùn)用特殊直角三角形的特點找線段關(guān)系．