Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)y＝x，y＝﹣x+6的圖象交于點(diǎn)A．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，作PQ∥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與△OAB重疊部分的面積為S．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

(2)試求出點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的關(guān)系式．

(3)在(2)的條件下，S是否有最大值若有，求出t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(4)若點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足的條件是　 　．

Answer 1

【答案】(1)A（4，4）；(2)見(jiàn)解析；(3)有最大值，當(dāng)t=2時(shí)，S的最大值為12；(4)t≥12．

【解析】

（1）因?yàn)閮蓚�(gè)函數(shù)y=x，y=-x+6的圖象交于點(diǎn)A，所以將兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立，得到方程組，解之即可；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在直線OA即y=x上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，所以OP=t，而OA是第一、三象限坐標(biāo)軸夾角的平分線，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(t，t)，又因PQ∥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，所以可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，并且點(diǎn)Q在y=-x+6上，因此可得到關(guān)于x、t的關(guān)系式，經(jīng)過(guò)變形可用t表示x，即得到點(diǎn)Q坐標(biāo)為(12t，t)，PQ＝12t，當(dāng)重疊部分是正方形時(shí)，分情況代入面積公式中求解；

（3）結(jié)合（2）中的關(guān)系式可知有最大值，并且最大值應(yīng)在0＜t≤3中，利用二次函數(shù)最值的求法就可得到S的最大值為12；

（4）若點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時(shí)，此時(shí)重合部分就是△AOB，B的坐標(biāo)為（12，0），并且有PB⊥OB，PB=OB=12，所以OP=12，即t≥12．

(1)由可得，

∴A（4，4）；

(2)點(diǎn)P在y＝x上，OP＝t，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為，

點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，并且點(diǎn)Q在y＝﹣x+6上，

∴ ，

即點(diǎn)Q坐標(biāo)為，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，t=2，

當(dāng)3﹤t﹤4時(shí)，S=，

＝；

(3)有最大值，最大值應(yīng)在中，

，

當(dāng)t=2時(shí)，S的最大值為12；

(4)當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積正好最大時(shí)，此時(shí)重合部分就是△AOB，

∵B的坐標(biāo)為（12，0），PB⊥OB，

∴PB＝OB＝12，

∴OP＝12，

∴t≥12．