Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c（c≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，m）（m＜0），與y軸交于點(diǎn)B，AB∥x軸，且3AB=2OB．
（1）求m的值；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）如果二次函數(shù)的圖象與x軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在左惻）．問線段BC上是否存在點(diǎn)P，使△POC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB∥x軸，A（-2，m），可得AB=2，又由3AB=2OB，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求得m的值；
（2）由二次函數(shù)與y軸的交于點(diǎn)B，可求得c的值，又由圖象過點(diǎn)A（-2，-3），將其代入函數(shù)解析式，即可求得b的值，則可得此二次函數(shù)解析式；
（3）由二次函數(shù)的圖象與x軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在左惻），可得當(dāng)y=0即可求得C的坐標(biāo)，若△POC為等腰三角形，則可分別從①當(dāng)PC=PO時(shí)，②當(dāng)PO=CO時(shí)，③當(dāng)PC=CO時(shí)去分析，即可求得滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AB∥x軸，A（-2，m），
∴AB=2，（1分）
又∵3AB=2OB，
∴OB=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3）
∴m=-3；（1分）

（2）∵二次函數(shù)與y軸的交于點(diǎn)B，
∴c=-3，（1分）
又∵圖象過點(diǎn)A（-2，-3），
∴-3=4-2b-3，
∴b=2，（2分）
∴二次函數(shù)解析式為y=x²+2x-3；（1分）

（3）當(dāng)y=0時(shí)，有x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
由題意得C（-3，0），（1分）
若△POC為等腰三角形，則有：
①當(dāng)PC=PO時(shí)，點(diǎn)P（-

3

2

，-

3

2

），（1分）
②當(dāng)PO=CO時(shí)，點(diǎn)P（0，-3），（1分）
③當(dāng)PC=CO時(shí)，設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+n，
則有

0=-3k+n -3=0+n

，
解得

k=-1 n=-3

，
∴直線BC的函數(shù)解析式為y=-x-3，（1分）
設(shè)點(diǎn)P（x，-x-3），
由PC=CO，
得[-（x+3）]²+[-（-x-3）]²=3²，
解得：x₁=-3+

3

2

2

，x₂=-3-

3

2

2

（不合題意，舍去），
∴P（-3+

3

2

2

，-

3

2

2

），（1分）
∴存在點(diǎn)P（-

3

2

，-

3

2

）或P（0，-3）或P（-3+

3

2

2

，-

3

2

2

），使△POC為等腰三角形．（1分）

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行線的性質(zhì)，函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系，以及等腰三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．