Question

（2013•東陽市模擬）如圖，C、D、B的坐標分別為（1，0）（9，0）（10，0），點P（t，0）是CD上一個動點，在x軸上方作等邊△OPE和△BPF，連EF，G為EF的中點．
（1）當t=

5

時，EF∥OB；
（2）雙曲線y=

k

x

過點G，當PG=

79

2

時，則k=

10

3

或15

3

．

Answer 1

分析：（1）作EM⊥OB于M點，F(xiàn)N⊥OB于N點，根據(jù)等邊三角形的性質得EM=

3

2

OP，F(xiàn)N=

3

2

PB，所以EM=FN時，EF∥OB，則

3

2

t=

3

2

（10-t），然后即方程即可得到t的值；
（2）作GH⊥OB于H點，則GH為梯形EMNF的中位線，根據(jù)梯形中位線的性質得GH=

1

2

（EM+FN）=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

5

2

，得到PH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
再利用勾股定理得PG²=GH²+PH²，即（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分別確定G點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式可得到k的值．，

解答：解：（1）作EM⊥OB于M點，F(xiàn)N⊥OB于N點，如圖，
∵△OPE和△BPF都是等邊三角形，
∴EM=

3

2

OP，F(xiàn)N=

3

2

PB，
當EM=FN時，EF∥OB，
∵P（t，0），B（10，0），
∴PO=t，PB=10-t
∴

3

2

t=

3

2

（10-t），
∴t=5；

（2）作GH⊥OB于H點，如圖，
∵G為EF的中點，
∴GH為梯形EMNF的中位線，
∴GH=

1

2

（EM+FN）=

1

2

[

3

2

t+

3

2

（10-t）]=

5 3

2

，HM=

1

2

MN=

1

2

（ON-OM）=

1

2

[t+

1

2

（10-t）-

1

2

t]=

5

2

，
∴PH=

5

2

-

1

2

t或

1

2

t-

5

2

，
在Rt△PGH中，PG²=GH²+PH²，
∴（

5 3

2

）²+（

5-t

2

）²=（

79

2

）²，
∴t₁=3，t₂=7，
當t=3時，OH=

5

2

+

1

2

t=4，
∴G點坐標為（4，

5 3

2

），
把G（4，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=4×

5 3

2

=10

3

；
當t=7時，OH=

5

2

+

t

2

=6，
∴G點坐標為（6，

5 3

2

），
把G（6，

5 3

2

）代入y=

k

x

得k=6×

5 3

2

=15

3

；
∴k的值為10

3

或15

3

．
故答案為5；10

3

或15

3

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其函數(shù)解析式，運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握等邊三角形的性質、含30°的直角三角形三邊的關系和勾股定理．