【題目】如圖①,點O是正方形ABCD兩對角線的交點,分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.
(1)求證:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如圖②.
①在旋轉(zhuǎn)過程中,當∠OAG′是直角時,求α的度數(shù);
②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中,求AF′長的最大值和此時α的度數(shù),直接寫出結(jié)果不必說明理由.
【答案】(1)見解析 ;(2)①α=30°或150° ,②α=315°.
【解析】試題分析: (1)延長ED交AG于點H,易證△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后運用等量代換證明∠AHE=90°即可;
(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:α由0°增大到90°過程中,當∠OAG′=90°時,α=30°,α由90°增大到180°過程中,當∠OAG′=90°時,α=150°;
②當旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時,AF′的長最大,AF′=AO+OF′=+2,此時α=315°.
試題解析:
(1)如圖1,延長ED交AG于點H,
∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:
(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中,當∠OAG′=90°時,
∵OA=OD=OG=OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中,當∠OAG′=90°時,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°30°=150°.
綜上所述,當∠OAG′=90°時,α=30°或150°.
②如圖3,當旋轉(zhuǎn)到A.O、F′在一條直線上時,AF′的長最大,
∵正方形ABCD的邊長為1,
∴OA=OD=OC=OB=,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=+2,
∵∠COE′=45°,
∴此時α=315°.
點睛: 本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義,掌握正方形的四條邊相等、四個角相等,旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,注意特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,點D是AB的中點,過點B作CD的垂線,垂足為點E.
(1)求線段CD的長;
(2)求cos∠ABE的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,E,F分別是DC和CB的延長線上的點,且DE=BF,連接AE,AF,EF.
(1)求證:△ADE≌△ABF;
(2)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心________點,按順時針旋轉(zhuǎn)________度得到;
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x -2mx(m為常數(shù)),當-1≤x≤2時,函數(shù)y的最小值為-2,則m的值是( )
A. B. C. 或 D. -或
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