【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,點E是AB邊上一點(點E不與點A、B重合),DE的延長線交⊙O于點G,DF⊥DG,且交BC于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)連接GB,EF,求證:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).
【解析】
試題分析:(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形,求出∠A與∠C的度數(shù),根據(jù)AB為圓的直徑,利用圓周角定理得到∠ADB為直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到AD=DC=BD=AC,進(jìn)而確定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一對角相等,利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;(2)連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD全等,得到ED=FD,進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角三角形,利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對同位角相等,利用同位角相等兩直線平行即可得證;(3)由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的長,利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長,利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的長,由GE+ED求出GD的長即可.
試題解析:(1)證明:連接BD,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠A=∠C=45°,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,
∴AD=DC=BD=AC,∠CBD=∠C=45°,
∴∠A=∠FBD,
∵DF⊥DG,
∴∠FDG=90°,
∴∠FDB+∠BDG=90°,
∵∠EDA+∠BDG=90°,
∴∠EDA=∠FDB,
在△AED和△BFD中,
,
∴△AED≌△BFD(ASA),
∴AE=BF;
(2)證明:連接EF,BG,
∵△AED≌△BFD,
∴DE=DF,
∵∠EDF=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∵∠G=∠A=45°,
∴∠G=∠DEF,
∴GB∥EF;
(3)∵AE=BF,AE=1,
∴BF=1,
在Rt△EBF中,∠EBF=90°,
∴根據(jù)勾股定理得:EF2=EB2+BF2,
∵EB=2,BF=1,
∴EF==,
∵△DEF為等腰直角三角形,∠EDF=90°,
∴cos∠DEF=,
∵EF=,
∴DE=×=,
∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,
∴△GEB∽△AED,
∴=,即GEED=AEEB,
∴GE=2,即GE=,
則GD=GE+ED=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題6分)甲、乙兩人進(jìn)行摸牌游戲.現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌,正面分別標(biāo)有數(shù)字2,3,5.將三張牌背面朝上,洗勻后放在桌子上.
(1)甲從中隨機抽取一張牌,記錄數(shù)字后放回洗勻,乙再隨機抽取一張.請用列表法或畫樹狀圖的方法,求兩人抽取相同數(shù)字的概率;
(2)若兩人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù),則甲獲勝;若抽取的數(shù)字和為5的倍數(shù),則乙獲勝.這個游戲公平嗎?請用概率的知識加以解釋.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分別是AC、AB邊上點,連接EF.
(1)圖①,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長;
(2)如圖②,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在BC邊上的點M處,且使MF∥CA.
①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;
②求EF的長;
(3)如圖③,若FE的延長線與BC的延長線交于點N,CN=1,CE=,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一幅長20cm、寬12cm的圖案,如圖,其中有一橫兩豎的彩條,橫、豎彩條的寬度比為3:2.設(shè)豎彩條的寬度為xcm,圖案中三條彩條所占面積為ycm2.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的,求橫、豎彩條的寬度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,若點A (a,﹣b)在第一象限內(nèi),則點B (a,b﹣3)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一種新型病毒的直徑約為0.000043毫米,用科學(xué)記數(shù)法表示為( )毫米.
A. 0.43×10-4 B. 0.43×10-5 C. 4.3×10-5 D. 4.3×10-8
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