Question

【題目】如圖，已知Rt△ABO，點(diǎn)B在軸上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D.

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△OCD的面積；

（3）點(diǎn)P是軸上的一個動點(diǎn)，請直接寫出使△OCP為直角三角形的點(diǎn)P坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積為；（3）P（2，0）或（4，0）

【解析】

（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理和三角形中位線的性質(zhì)求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；

（2）補(bǔ)形法，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD；

（3）分兩種情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分別求解即可．

解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，

∴AB= OB=2，

作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，

∴C（，1），

∵反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，

∴1=，∴k=，

∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為；

（2）∵OB=，

∴D的橫坐標(biāo)為，

代入得，y=，

∴D（，），

∴BD=，

∵AB=，

∴AD=，

∴S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD =OBAB-ADBE-BDOB=

（3）當(dāng)∠OPC=90°時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相等，C（2，2），
∴P（2，0）．
當(dāng)∠OCP=90°時．
∵C（2，2），
∴∠COB=45°．
∴△OCP為等腰直角三角形．
∴P（4，0）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（4，0）．