Question

如圖．AB是半圓O的直徑，點C是半徑OA上的點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△BCD沿BD折疊得到△BED，BE交半圓O于點F，連接DF
（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）連接OD，當(dāng)OC=AC時，判斷四邊形ODFB的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：∵將△BCD沿BD折疊得到△BED，
∴△BCD≌△BED，
∴∠EDB=∠CDB，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB=90°，
∴∠DBO+∠CDB=90°，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠BDO+∠EDB=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴DE是半圓O的切線；

（2）四邊形ODFB的形狀是菱形，
證明：連接AD，OF，
∵AC=OC，OA=OD，
∴DO=2CO，
∵∠DCO=90°，
∴∠DOC=60°，∠CDO=30°，
∵∠ODB=∠OBD，∠DOC=∠OBD+∠ODB，
∴∠DBO=∠ODB=30°，
∵△BCD≌△BED，
∴∠FBD=∠DBO=30°，
∴∠DOF=2∠DBO=60°，
∴∠AOD=∠DOF=∠FOB=60°，
∴DF=BF=AD，
∵AC=CO，DC⊥OA，
∴AD=OD，
∴OD=OB=BF=DF，
∴四邊形ODFB是菱形．
分析：（1）根據(jù)折疊得出△BCD≌△BED，推出∠EDB=∠CDB，根據(jù)∠DCB=90°，求出∠DBO+∠CDB=90°，求出∠DBO=∠BDO，推出∠BDO+∠EDB=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出∠DOC=60°，求出∠OBD=30°，根據(jù)圓周角定理求出∠AOD=∠DOF=∠FOB=60°，推出DF=BF=AD=OD=OB，根據(jù)菱形的判定推出即可．
點評：本題考查了切線的判定，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．