Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式，進(jìn)而可用配方法或公式法求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)B、C、D的坐標(biāo)，可求得△BCD三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可．
（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)；首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標(biāo)及（2）題所得△BDC三邊的比例關(guān)系，即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求，因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），可知c=-3，
即拋物線的解析式為y=ax²+bx-3，
把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

解得a=1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）．

（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，
理由如下：
過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC²=18，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴CD²=2，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴BD²=20，
∴BC²+CD²=BD²，故△BCD為直角三角形．

（3）連接AC，則容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽R(shí)t△BCD，得符合條件的點(diǎn)為O（0，0）．
過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCD，
求得符合條件的點(diǎn)為P1(0，

1

3

)．
過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，可知Rt△P₂CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCD，
求得符合條件的點(diǎn)為P₂（9，0）．
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），P1(0，

1

3

)，P₂（9，0）．

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，（3）題中能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O是符合要求的P點(diǎn)，是解決此題的突破口．