Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑作圓，分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn).

（1）求證：是圓的切線；

（2）若為的中點(diǎn)，求的值；

（3）若，求圓的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2），（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OD，然后可得等腰三角形，然后通過等腰三角形的性質(zhì)求得OD∥AC，然后可根據(jù)切線的判定求證即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的中位線可證得△AEF∽△ODF，由相似三角形的性質(zhì)可求解；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，和圓的有關(guān)性質(zhì)，可證明△BFD∽△EFA，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.

試題解析：（1）

連接，

∵，

∴是等腰三角形，

①，

又在中， ∵，

∴ ②，

則由①②得，，

∴，

∵，

∴，

∴是的切線；

（2）

在中， ∵，

∵由中可知，，

是等腰三角形，

又∵且點(diǎn)是中點(diǎn)，

∴設(shè)，則，

連接，則在中，，即，

又∵是等腰三角形，∴是中點(diǎn)，

則在中，是中位線， ∴，

∵， ∴，

在和中，， ∴，

∴，

∴．

（3）設(shè)半徑為，即，

∵， ∴，

又∵， ∴，

則， ∴，

∴，

∴，

在中， ∵，

∴，

∵，是等腰三角形，

∴，

∴，

在與中，∵，

∴，

解得（舍）

∴綜上，的半徑為．