【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)A(3,0),B(0,3)兩點(diǎn)

(1)求此拋物線的解析式和直線AB的解析式;

(2)如圖①,動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā),沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)E,F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),連接EF,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),△AEF為直角三角形?

(3)如圖②,取一根橡皮筋,兩端點(diǎn)分別固定在A,B處,用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形,在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形?如果存在,求出最大面積,并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由

【答案】(1),y=﹣x+3;(2);(3)存在面積最大,最大是,此時(shí)點(diǎn)P(,).

【解析】

試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線,直線解析式;

(2)分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可;

(3)確定出面積達(dá)到最大時(shí),直線PC和拋物線相交于唯一點(diǎn),從而確定出直線PC解析式,根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD,計(jì)算即可.

試題解析:(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)A(3,0),B(0,3)兩點(diǎn),∴,∴,∴,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,∴,∴,∴y=﹣x+3;

(2)由運(yùn)動(dòng)得,OE=t,AF=t,∴AE=OA﹣OE=3﹣t,∵△AEF為直角三角形,∴①△AOB∽△AEF,∴,,∴t=,②△AOB∽△AFE,∴,∴,∴t=;

(3)如圖,存在,過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于C,∵直線AB解析式為y=﹣x+3,∴設(shè)直線PC解析式為y=﹣x+b,聯(lián)立,∴,∴,∴△=9﹣4(b﹣3)=0,b=,∴BC=﹣3=,x=,∴ P(,).

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PC,∴直線BD解析式為y=x+3,∴BD=,∴BD=,∵AB=,S最大=AB×BD==

即:存在面積最大,最大是,此時(shí)點(diǎn)P(,).

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