【題目】在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.點(diǎn)P為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合),連接PC,點(diǎn)D在直線BC上,且PD=PC.過(guò)點(diǎn)P作PE^PC,點(diǎn)D,E在直線AC的同側(cè),且PE=PC,連接BE.
(1)情況一:當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),圖形如圖1 所示;
情況二:如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,且AP<AB時(shí),請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖2;.

(2)請(qǐng)從問(wèn)題(1)的兩種情況中,任選一種情況,完成下列問(wèn)題:
①求證:∠ACP=∠DPB;
②用等式表示線段BC,BP,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】
(1)

解:補(bǔ)全圖形如圖①所示


(2)

解:情況一:

①證明:如圖②,

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∵PD=PC,

∴∠1=∠D,

∵∠ACB=∠1+∠2=45°,∠ABC=∠D+∠=45°,

∴∠3=∠2,

即∠ACP=∠DPB;

②BC= BP+BE;理由:

證明:如圖③過(guò)P作PF⊥PB交BC于F,

∵PF⊥PB,

∴∠BPF=90°,

∵EP⊥PC,

∴∠EPC=90°,

∴∠4+∠5=∠6+∠5,

∴∠4=∠6,

∵∠PBF=45°,

∴∠PBF=∠PFB=45°,

∴PB=PF,

在△PBE與△PFC中,

,

∴△PBE≌△PFC,

∴BE=FC,

∵BF= BP,

∴BC=BF+FC= BP+BE.

情況二:①如圖④,

∵PD=PC,

∴∠PDC=∠PCD,

∵∠ABC=∠ACB=45°,

∴∠3=∠PDC﹣45°,∠ACP=∠PCD﹣45°

,∴∠BPD=∠ACP;

②如圖④,過(guò)P作PF⊥PB交BC于F,

∵PF⊥PB,

∴∠BPF=90°,

∵EP⊥PC,

∴∠EPC=90°,

∴∠4+∠BPC=∠6+∠BPC=90°,

∴∠4=∠6,

∵∠PBF=45°,

∴∠PBF=∠PFB=45°,

∴PB=PF,

在△PBE與△PFC中,

,

∴△PBE≌△PFC,

∴BE=FC,

∵BF= BP,

∴BC=BF﹣FC= BP﹣BE.


【解析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可;(2)情況一:①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠D根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠4=∠6,由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PBF=∠PFB=45°,于是得到PB=PF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=FC,由勾股定理得到BF= BP,即可得到結(jié)論;
情況二:①,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PDC=∠PCD,由∠ABC=∠ACB=45°,于是得到∠3=∠PDC﹣45°,∠ACP=∠PCD﹣45°,即可得到結(jié)論;根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠4=∠6,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PBF=∠PFB=45°,于是得到PB=PF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=FC,根據(jù)勾股定理得到BF= BP于是得到結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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