Question

【題目】已知：拋物線 經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng) 時(shí), y隨x的增大而減小.
（1）求拋物線的解析式；
（2）如下圖，設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB x軸于點(diǎn)B, DC x軸于點(diǎn)C.

①當(dāng) BC=1時(shí)，直接寫(xiě)出矩形ABCD的周長(zhǎng)；
②設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a, b）,將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù)，并寫(xiě)出自變量的取值范圍，判斷周長(zhǎng)是否存在最大值，如果存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：把（0，0）代入y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1，∴0=m2﹣1，∴m=±1，∵當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴對(duì)稱軸x= ＞0，∴m＜ ，∴m=﹣1，∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x
（2）解：①∵AD∥x軸，∴A與D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∵拋物線的對(duì)稱軸為x= ，BC=1

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴把x=1代入y=x2﹣3x，∴y=﹣2，∴AB=2，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為：2×2+2×1=6；

②把A（a，b）代入y=x2﹣3x，∴b=a2﹣3a，∴A（a，a2﹣3a），令y=0代入y=x2﹣3x，∴x=0或x=3，∴由題意知：0＜a＜3，∴AB=3a﹣a2，由①可知：A與D關(guān)于x= 對(duì)稱，∴D的坐標(biāo)為（3﹣a，a2﹣3a），∴AD=|3﹣a﹣a|=|3﹣2a|，分兩種情況討論：

當(dāng)0＜a≤ 時(shí)，∴AD=3﹣2a，∴L=2（AB+AD）=﹣2a2+2a+6=﹣2（a﹣ ）2+ ，當(dāng)a= 時(shí)，L的最大值為 ，此時(shí)A的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）；

當(dāng) ＜a＜3時(shí)，∴AD=2a﹣3，∴L=2（AB+AD）= =﹣2（a﹣ ）2+ ，當(dāng)a= 時(shí)，L的最大值為 ，此時(shí)A的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）．

綜上所述：L= ，當(dāng)A的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ），L的最大值為 ．

【解析】（1）把原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入拋物線解析式，由“x < 0 時(shí), y隨x的增大而減小.”可判斷出開(kāi)口向上，a取正值；（2）由拋物線的對(duì)稱性可知B、C是對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱軸求出B橫坐標(biāo)，代入解析式，進(jìn)而求出AB，最后求出周長(zhǎng);(2)需分類討論，分A在對(duì)稱軸的左側(cè)或右側(cè)，構(gòu)建關(guān)于周長(zhǎng)的函數(shù)，分別求出兩種情況下的最大值，求出相應(yīng)的A的坐標(biāo).