Question

如圖，半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）求A、B兩點(diǎn)的距離以及點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當(dāng)OC²=CD•BC時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若在以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B的拋物線上和在⊙O′上是否分別存在點(diǎn)P，使△ABD的面積等于△POD的面積，即S_△ABD=S_△POD？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出OA+OB和OA•OB的值．連接AB，根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，再結(jié)合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，則△OCB∽△DCO，則∠COD=∠CBO，然后判斷點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn)，連接O′C，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′C⊥OA．再進(jìn)一步根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．
（3）根據(jù)相似三角形OBD和ECD求出OD的長，那么S_△ABD=S_△POD，可據(jù)此求出三角形POD中OD邊上的高，然后同圓O′中點(diǎn)到x軸的最大距離進(jìn)行比較即可得出P是否在圓上．

解答：解：（1）連接AB，

∵∠BOA=90°，
∴AB為直徑，由根與系數(shù)關(guān)系得OA+OB=-k，OA•OB=60，
根據(jù)勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，
故k=±17（正值舍去）．
則有方程x²-17x+60=0，
解得：x=12或5．
又∵OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC²=CD•CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
∴點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn)．
連接O′C交OA于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理的推論，得O′C⊥OA，

根據(jù)垂徑定理，得OE=6，根據(jù)勾股定理，得O′E=2.5，
故CE=4，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，-4）．

（3）假定在⊙上存在點(diǎn)P，使S_△ABD=S_△POD，

∵OB∥EC，
∴△OBD∽△ECD，
∴

OB

EC

=

OD

ED

，即

5

4

=

OD

6-OD

，
解得OD=

10

3

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BO=

65

3

，
∴S_△POD=

65

3

，
故可得在△POD中，OD邊上的高為13，即點(diǎn)P到x軸的距離為13，
∵⊙上的點(diǎn)到x軸的最大距離為9，
∴點(diǎn)P不在⊙上，
故在⊙上不存在點(diǎn)P，使S_△ABD=S_△POD．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題目，涉及了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，注意所學(xué)知識的融會貫通．