Question

已知：在△AOB與△COD中，OA＝OB，OC＝OD，．
（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是                         ，位置關(guān)系是                    ；

（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 ()．連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM．請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，將圖1中的 △COD繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使 △COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)．

請(qǐng)你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

（1）AD=2OM，；（2）成立；（3）沒(méi)有

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)求解即可；
（2） 延長(zhǎng)BO到F，使FO=BO，連結(jié)CF，由題意可得MO為的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可得FC=2OM，證得△AOD≌△FOC，可得FC=AD，=，再結(jié)合+=90°，即可得到+=90°，從而可以證得結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過(guò)點(diǎn)E作于N，由OA＝OB，OC＝OD，，可得，即得AE＝DE，BE＝CE，∠AED=90°，則有DN=AN，即得AD＝2NE，再根據(jù)M為BC的中點(diǎn)可得，即可得到四邊形ONEM是矩形，從而可以證得結(jié)論.
（1）線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM，位置關(guān)系是；
（2）（1）的兩個(gè)結(jié)論仍然成立.
如圖2，延長(zhǎng)BO到F，使FO=BO，連結(jié)CF.

∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，O為BF中點(diǎn)，
∴MO為的中位線.
∴FC=2OM
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠FOC .
∵AO=FO，CO=DO，
∴△AOD≌△FOC.
∴FC="AD."
∴AD=2OM
∵M(jìn)O為的中位線，
∴MO∥CF .
∴∠MOB=∠F.
又∵≌，
∴=.
∵+=90°
∴+=90°
即；
（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化.
延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過(guò)點(diǎn)E作于N.

∵OA＝OB，OC＝OD，，
∴.
∴AE＝DE，BE＝CE，∠AED=90°.
∴DN="AN."
∴AD＝2NE.
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴.
∴四邊形ONEM是矩形.
∴NE＝OM.
∴AD＝2OM.
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.