Question

【題目】如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，連接,過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，且，則的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用折疊的性質(zhì)可證得△ABC≌△A1BC1 ， 由此可以推出AB=A1B，BC=B1C，∠ABC=∠A1BC1 ， 再證明∠A1BA=∠C1BC，利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，可證△A1BA∽△C1BC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得到AB與BC之間的數(shù)量關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，可以求出AB，BC的長，過C1作C1Q⊥BC交BC，AN于點(diǎn)Q，點(diǎn)P，設(shè)PC1=x，CQ=y，可建立關(guān)于x，y的方程組，解方程組求出x，y的值，即可求出AD的長.

根據(jù)題意，可得△ABC≌△A1BC1 ，

∴AB=A1B，BC=B1C，∠ABC=∠A1BC1，

∵∠ABC=∠A1BA+∠ABC1 ， ∠A1BC1=∠C1BC+∠ABC1，

∴∠A1BA=∠C1BC，

∴△A1BA∽△C1BC，

∵CC1= AA1，

∴AB= BC，

∴sin∠BAC=sin∠BA1D= ，

在Rt△ABC中，設(shè)AB=5x，BC=3x，

AB2=AC2+BC2 ， 即(5x)2=162+(3x)2，

解方程(5x)2=162+(3x)2 ， 得x1=4，x2=-4(舍)，

∴BC=BC1=DC1=12， AC=A1C1=16，

過C1作C1Q⊥BC交BC，AN于點(diǎn)Q，點(diǎn)P，

設(shè)PC1=x，CQ=y，，

解得： 或 ，

∴AD=12+4 或12-4 ，

∵AD<BC，

∴AD=12-4 .