Question

如圖1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．
（1）探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長；
（3）若點M、N分別是線段AB、CA延長線上的點，其他條件不變，此時（1）中的結(jié)論是否還成立，在圖2中畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

（1）MN=BM+NC．理由如下：
延長AC至E，使得CE=BM（或延長AB至E，使得BE=CN），并連接DE．
∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD與△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=BM+NC．

（2）利用（1）中的結(jié)論得出：
△AMN的周長=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
=2+2=4．

（3）按要求作出圖形，（1）中結(jié)論不成立，應(yīng)為MN=NC-BM．
在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∠BDC=120°（已知條件）
∴∠BDM=∠CDE
∠MDE=∠BDM+∠BDC-∠CDE=∠BDC=120°
∵∠MDN=60°（已知條件）
∴∠EDN=∠MDE-∠MDN=120°-60°=60°=∠MDN，
∴DE=DM，
又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN，MD=ED，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．