【題目】如圖,拋物線y=ax2+x+c交x軸于A,B兩點,交y軸于點C.直線y=﹣+2經過點A,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線在第一象限內的圖象上,過點P作x軸的垂線,垂足為D,交直線AC于點E,連接PC,設點P的橫坐標為m.
①當△PCE是等腰三角形時,求m的值;
②過點C作直線PD的垂線,垂足為F.點F關于直線PC的對稱點為F′,當點F′落在坐標軸上時,請直接寫出點P的坐標.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)①當△PCE是等腰三角形時,m的值為m=4﹣,2,;②點P的坐標為(1,3)或(,)
【解析】
(1)先由直線y=﹣x+2求出A,C的坐標,再將其代入拋物線y=ax2+x+c中,即可求出拋物線解析式;
(2)①用含m的代數(shù)表示出P,E的坐標,再求出含m的代數(shù)式的PE的長度,將等腰三角形分三種情況進行討論,即可分別求出m的值;
②當點F'落在坐標軸上時,存在兩種情形,一種是點F'落在y軸上,一種是點F′落在x軸上,分情況即可求出點P的坐標.
解:(1)∵直線y=﹣x+2經過A,C,
∴A(4,0),C(0,2),
∵拋物線y=ax2+x+c交x軸于點B,交y軸于點C,
∴,
∴a=﹣,c=2,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2;
(2)∵點P在拋物線在第一象限內的圖象上,點P的橫坐標為m,
∴0<m<4,P(m,﹣m2+m+2),
①∵PD⊥x軸,交直線y=﹣x+2于點E,
∴E(m,﹣m+2),
∴PE=(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,
∵PD∥CO,
∴,
∴CE==m,
當PE=CE時,﹣m2+2m=m,
解得,m1=4﹣,m2=0(舍去);
當PC=CE時,PD+ED=2CO,
即(﹣m2+m+2)+(﹣m+2)=2×2,
∴﹣m2+m=0,
解得,m1=2,m2=0(舍去);
當PC=PE時,取CE中點G,則G(m,﹣m+2),PG⊥AC,
∴∠GEP=∠OCA,
∴Rt△PGE∽Rt△AOC,
∴=2,
∴(﹣m2+m+2)﹣(﹣m+2)=2(m﹣m),
﹣m2+m=0,
解得,m1=,m2=0(舍去),
綜上,當△PCE是等腰三角形時,m的值為m=4﹣,2,;
②P(1,3),P(,),理由如下,
當點F'落在坐標軸上時,存在兩種情形:
如圖2﹣1,當點F'落在y軸上時,點P(m,﹣m2+m+2)在直線y=x
+2上,
∴﹣m2+m+2=m+2,
解得,m1=1,m2=0(舍去),
∴P(1,3);
如圖2﹣2,當點F'落在x軸上時,△COF'∽△F'DP,
∴,
∴,
∵PF=2﹣(﹣m2+m+2)=m(m﹣3),
∴F'D==m﹣3,
∴OF'=OD﹣FD=m﹣(m﹣3)=3,
在△CBF'中,CF'=,
∴m=,P(,),
綜上所述,當點F′落在坐標軸上時,點P的坐標為(1,3)或(,).
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【題目】如圖中,,P是斜邊AC上一個動點,以即為直徑作交BC于點D,與AC的另一個交點E,連接DE.
(1)當時,
①若,求的度數(shù);
②求證;
(2)當,時,
①是含存在點P,使得是等腰三角形,若存在求出所有符合條件的CP的長;
②以D為端點過P作射線DH,作點O關于DE的對稱點Q恰好落在內,則CP的取值范圍為________.(直接寫出結果)
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【題目】列方程或方程組解應用題:
“美化城市,改善人民居住環(huán)境”是城市建設的一項重要內容.某市近年來,通過植草、栽樹、修建公園等措施,使城區(qū)綠地面積不斷增加,2011年底該市城區(qū)綠地總面積約為75公頃,截止到2013年底,該市城區(qū)綠地總面積約為108公頃,求從2011年底至2013年底該市城區(qū)綠地總面積的年平均增長率.
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【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=6,點P是邊BC上的動點,現(xiàn)將紙片折疊,使點A與點P重合,折痕與矩形邊的交點分別為E、F,要使折痕始終與邊AB、AD有交點,則BP的取值范圍是_________________.
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【題目】在甲、乙兩個不透明的盒子中,分別裝有除顏色外其它完全相同的小球,其中,甲盒子裝有2個白球,1個紅球;乙盒子裝有2個紅球,1個白球.
(1)將甲盒子搖勻后,隨機取出一個小球,求小球是白色的概率;
(2)小華和同桌商定:將兩個盒子搖勻后,各隨機摸出一個小球.若顏色相同,則小華獲勝;若顏色不同,則同桌獲勝,請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明誰贏的可能性大.
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【題目】某自行車經銷商計劃投入7.1萬元購進100輛A型和30輛B型自行車,其中B型車單價是A型車單價的6倍少60元.
(1)求A、B兩種型號的自行車單價分別是多少元?
(2)后來由于該經銷商資金緊張,投入購車的資金不超過5.86萬元,但購進這批自行年的總數(shù)不變,那么至多能購進B型車多少輛?
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【題目】在初中階段的函數(shù)學習中,我們經歷了“確定函數(shù)的解析式利用函數(shù)圖象研究其性質﹣運用函數(shù)解決問題”的學習過程.在畫函數(shù)圖象時,我們可以通過描點或平移或翻折等方法畫出函數(shù)圖象、下面我們対函數(shù)y=|﹣1|展開探索,請補充以下探索過程:
(1)列表
x | … | ﹣1 | ﹣ | ﹣ | ﹣ | 0 |
| … | 2 |
| 3 | … | ||||||||
y | … |
|
|
| 2 | 3 | a | … | 3 | 1 | 0 | b | … | |||||||
直接寫出函數(shù)自變量x的取值范圍,及a= ,b= ;
(2)在給出的平面直角坐標系中,請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象,并寫出這個函數(shù)的一條性質: .
(3)若方程|﹣1|=m有且只有一個解,直接寫出m的值: .
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【題目】如圖,在直線上有相距的兩點和(點在點的右側),以為圓心作半徑為的圓,過點作直線.將以的速度向右移動(點始終在直線上),則與直線在______秒時相切.
A.3B.3.5C.3或4D.3或3.5
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