Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=3cm，AD=14cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，沿DA方向以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以PDCB為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以PCD為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形；
（3）問(wèn)：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，梯形內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得過(guò)PQ的直線與BC相交且把梯形ABCD分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)你用一句話概括出Q點(diǎn)的位置；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=BC即可判斷以PDCB為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（2）點(diǎn)P處可能為直角，點(diǎn)C處也可能是直角，而后根據(jù)勾股定理求解．
（3）只有過(guò)上下底中點(diǎn)的直線才可能把梯形分成面積相等的兩部分，那么Q點(diǎn)一定在這條直線上．

解答：解：（1）當(dāng)PD=BC=10時(shí)，四邊形PDCB是平行四邊形，∴2t=10，∴t=5．
∴當(dāng)t=5時(shí)，四邊形PDCB是平行四邊形．

（2）過(guò)C作CE⊥AD于E，∴CE=AB=3．
ED=AD-BC=14-10=4．①當(dāng)CP⊥AD，PD=4時(shí)，△PCD是直角三角形．2t=4，
∴t=2．②當(dāng)CP⊥CD，設(shè)PE=x，CD=

CE2+ED2

=

32+42

=5，CP²=x²+3²=（x+4）²-5²，
∴8x=18，x=

9

4

．PD=4+

9

4

=

25

4

，∴2t=

25

4

，t=

25

8

=3.125．
∴當(dāng)t=2或3.125時(shí)，△PCD是直角三角形．

（3）Q點(diǎn)是過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)直線的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．注意分情況討論和常見(jiàn)知識(shí)的應(yīng)用．