Question

7．某公司產(chǎn)銷一種產(chǎn)品，為保證質(zhì)量，每個周期產(chǎn)銷商品件數(shù)控制在100以內(nèi)，產(chǎn)銷成本C是商品件數(shù)x的二次函數(shù)，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：

產(chǎn)銷商品件數(shù)（x/件）	10	20	30
產(chǎn)銷成本（C/元）	120	180	260

商品的銷售價格（單位：元）為P=35-$\frac{1}{10}$x（每個周期的產(chǎn)銷利潤=P•x-C）
（1）直接寫出產(chǎn)銷成本C與商品件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）
（2）該公司每個周期產(chǎn)銷多少件商品時，利潤達(dá)到220元？
（3）求該公司每個周期的產(chǎn)銷利潤的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)出C與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可解答本題；
（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題；
（3）根據(jù)題意可以得到利潤與銷售價格的關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式即可解答本題．

解答 解：（1）設(shè)C=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{a×1{0}^{2}+10b+c=120}\\{a×2{0}^{2}+20b+c=180}\\{a×3{0}^{2}+30b+c=260}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{10}}\\{b=3}\\{c=80}\end{array}\right.$，
即產(chǎn)銷成本C與商品件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是：C=$\frac{1}{10}$x²+3x+80；
（2）依題意，得
（35-$\frac{1}{10}$x）•x-（$\frac{1}{10}$x²+3x+80）=220；
解得，x₁=10，x₂=150，
∵每個周期產(chǎn)銷商品件數(shù)控制在100以內(nèi)，
∴x=10．
即該公司每個周期產(chǎn)銷10件商品時，利潤達(dá)到220元；
（3）設(shè)每個周期的產(chǎn)銷利潤為y元，
∵y=（35-$\frac{1}{10}$x）•x-（$\frac{1}{10}$x²+3x+80）=-$\frac{1}{5}$x²+32x-80=-$\frac{1}{5}$（x-80）²+1200，
∴當(dāng)x=80時，函數(shù)有最大值，此時y=1200，
即當(dāng)每個周期產(chǎn)銷80件商品時，產(chǎn)銷利潤最大，最大值為1200 元．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．