Question

如圖1所示，以點(diǎn)M（-1，0）為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點(diǎn)A，B，C，D，直線(xiàn)y=-

3

3

x-

5 3

3

與⊙M相切于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出OE，⊙M的半徑r，CH的長(zhǎng)；
（2）如圖2所示，弦HQ交x軸于點(diǎn)P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；
（3）如圖3所示，點(diǎn)K為線(xiàn)段EC上一動(dòng)點(diǎn)（不與E，C重合），連接BK交⊙M于點(diǎn)T，弦AT交x軸于點(diǎn)N．是否存在一個(gè)常數(shù)a，始終滿(mǎn)足MN•MK=a，如果存在，請(qǐng)求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在直線(xiàn)y=-

3

3

x-

5 3

3

中，令y=0，可求得E的坐標(biāo)，即可得到OE的長(zhǎng)為5；連接MH，根據(jù)△EMH與△EFO相似即可求得半徑為2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH是RT△EHM斜邊上的中線(xiàn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可得出CH的長(zhǎng)；
（2）連接DQ、CQ．根據(jù)相似三角形的判定得到△CHP∽△QDP，從而求得DQ的長(zhǎng)，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即為cos∠QHC的值；
（3）連接AK，AM，延長(zhǎng)AM，與圓交于點(diǎn)G，連接TG，由圓周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)y=-

3

3

x-

5 3

3

中，令y=0，則x=-5，即OE=5；
令x=0，則y=-

5 3

3

，故F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

5 3

3

），
∴EF=

(-5)2+(- 5 3 3 )2

=

10 3

3

，
∵M(jìn)（-1，0），
∴EM=4，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴

HM

OF

=

EM

EF

，即

r

5 3 3

=

4

10 3 3

，
∴r=2；
∵CH是RT△EHM斜邊上的中線(xiàn)，
∴CH=

1

2

EM=2．

（2）連接DQ、CQ．
∵∠CHP=∠D，∠CPH=∠QPD，
∴△CHP∽△QDP．
∴CH：DQ=HP：PD=2：3，
∴DQ=3．
∴cos∠QHC=cos∠D=

3

4

．

（3）如圖3，連接AK，AM，延長(zhǎng)AM，與圓交于點(diǎn)G，連接TG，則∠GTA=90°，
∴∠MAN+∠4=90°，
∵∠3=∠4
∴∠MAN+∠3=90°
由于∠BKO+∠3=90°，故∠BKC=∠MAN；
而∠BKC=∠AKC，
∴∠AKC=∠2，
在△AMK和△NMA中，∠AKC=∠MAN；∠AMK=∠NMA，
故△MAK∽△MNA，

MN

AM

=

AM

MK

；
即：MN•MK=AM²=4，
故存在常數(shù)a，始終滿(mǎn)足MN•MK=a，
常數(shù)a=4．

點(diǎn)評(píng)：此題要能夠把一次函數(shù)的知識(shí)和圓的知識(shí)結(jié)合起來(lái)．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的推論、銳角三角函數(shù)的概念等，此題的綜合性較強(qiáng)．