Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別以每秒2個(gè)單位、1個(gè)單位的速度向x軸、y軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)A、OC為邊作矩形OABC．以M（4，0），N（9，0）為斜邊端點(diǎn)作直角△PMN，點(diǎn)P在第一象限，且tan∠PMN=

1

2

，當(dāng)點(diǎn)A出發(fā)時(shí)，△PMN同時(shí)以每秒0.5個(gè)單位的速度沿x軸向右平移．設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，矩形OABC與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，要使對(duì)角線AC上始終存在點(diǎn)Q，滿足∠OQM=90°，請(qǐng)直接寫出符合條件的t的值或t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，可求出MH的長(zhǎng)即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)tan∠PMN=

1

2

，及勾股定理便可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A；點(diǎn)C同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M（4，0），△PMN同時(shí)以每秒0.5個(gè)單位的速度沿x軸向右平移，運(yùn)動(dòng)t秒后，OA=2t，OM=4+0.5t，
①當(dāng)0＜OA≤OM，即0＜2t≤

8

3

時(shí)，兩圖形無交點(diǎn)；
②當(dāng)OM＜OA≤OH，即4+0.5t＜2t≤8+0.5t時(shí)，即

8

3

＜t≤

16

3

時(shí)，矩形OABC與△PMN重疊部分的面積為S等于重疊的三角形的面積．
③當(dāng)OH＜OA≤ON，即8+0.5t＜2t≤9+0.5t，即

16

3

＜t≤6時(shí)，矩形OABC與△PMN重疊矩部分的面積為S等于△MNP的面積減去不重疊的三角形的面積．
④當(dāng)OA＞ON，即2t＞9+0.5t，t＞6時(shí)，矩形OABC與△PMN重疊矩部分的面積為S等于△MNP的面積．
（3）根據(jù)圓周角定理可知，當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與AC有公共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)即是符合條件的點(diǎn)Q，即可求出t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，
過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H．
∵M(jìn)N=9-4=5，tan∠PMN=

1

2

，
∴PM=2

5

，PN=

5

，
∴PH=2，MH=4，NH=1．
∴P（8，2）．

（2）運(yùn)動(dòng)t秒后，OA=2t，OC=t，OM=4-0.5t．
當(dāng)0＜t≤

8

3

時(shí)，S=0；
當(dāng)

8

3

＜t≤

16

3

時(shí)，S=

9

16

t²-3t+4；
當(dāng)

16

3

＜t≤6時(shí)，S=-

9

4

t²+27t-76；
當(dāng)t＞6時(shí)，S=5．

（3）當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與AC有公共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)即是符合條件的點(diǎn)Q．
當(dāng)以O(shè)M為直徑的圓與AC相切時(shí)，t=

16 5 +24

11

，
∴t的取值范圍是：0＜t≤

16 5 +24

11

．

點(diǎn)評(píng)：此題是典型的動(dòng)點(diǎn)問題，比較復(fù)雜，考查了同學(xué)們對(duì)圓及三角形，矩形，等相關(guān)知識(shí)的掌握情況，有一定的難度．