Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x²+5x﹣24=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）求直線OD的函數(shù)表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P是直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

(1)點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣8，3）；（2）；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為標(biāo)為、、、.

試題分析：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：解方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法，等腰三角形的判定與性質(zhì)，分類(lèi)思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)．（1）解方程x2+5x-24=0得到它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)點(diǎn)B所在象限進(jìn)一步得到點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣8，3）；（2）由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得點(diǎn)D坐標(biāo)（-4,3），再根據(jù)待定系數(shù)法得到正比例函數(shù)直線OD的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）由點(diǎn)P在直線OD上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，應(yīng)分三種情況討論：即①PA=PD；②AP=AD；③DP=DA；分別就三種情況求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
試題解析：
解：（1）解方程x²+5x﹣24=0，
得x₁=﹣8，x₂=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣8，3）；
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴D（﹣4，3）；
設(shè)直線OD的解析式為，
∴3=﹣4k，解得
∴直線OD的函數(shù)表達(dá)式為
（3）由A（0，3），D（﹣4，3）可知：AD=4．
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果PA=PD，那么點(diǎn)P在AD的垂直平分線上，
∴x=﹣2，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為.
②如果AP=AD，那么
解得：（與D點(diǎn)重合舍去），
當(dāng)時(shí)，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為
③如果DP=DA，那么
解得：，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為，.
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為標(biāo)為、、、.