Question

【題目】我們知道求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式組成方程組，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)．如：求直線y＝2x+3與y＝﹣x+6的交點(diǎn)坐標(biāo)，我們可以聯(lián)立兩個(gè)解析式得到方程組，解得，所以直線y＝2x+3與y＝﹣x+6的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）．請(qǐng)利用上述知識(shí)解決下列問(wèn)題：

（1）已知直線y＝kx﹣2和拋物線y＝x2﹣2x+3，

①當(dāng)k＝4時(shí)，求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)k為何值時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)？

（2）已知點(diǎn)A（a，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，B（0，4），以AB為邊在AB右側(cè)做正方形ABCD，當(dāng)正方形ABCD的邊與反比例函數(shù)y＝的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（1，2），（5，18）；②k＝﹣2；（2）a的取值范圍是a＞2或﹣16＜a＜﹣4

【解析】

（1）①由題意得：，解得，，即可求解；

②利用△＝0，即可求解；

（2）分a＞0、a＜0兩種情況，探討正方形的邊與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)的情況，進(jìn)而求解．

解：（1）①由題意得：，解得，，

∴直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），（5，18）；

②聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)并整理得：x2﹣（k+2）x+5＝0，

△＝（﹣k﹣2）2﹣4×5＝0，

解得：k＝﹣2；

（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，如圖1，

點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（a，0）、（0，4），

由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+4，

當(dāng)線段AB與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

聯(lián)立AB表達(dá)式與反比例函數(shù)表達(dá)式得：﹣x+4＝，

整理得：4x2﹣4ax+2a＝0，

△＝（﹣4a）2﹣16×2a＝0，解得：a＝2，

故當(dāng)a＞2時(shí)，正方形ABCD與反比例函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，如圖2，

（Ⅰ）當(dāng)邊AD與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)D作ED⊥x軸于點(diǎn)E，

∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAO，

∵AB＝AD，∠AOB＝∠DEA＝90°，

∴△AOB≌△DEA（AAS），

∴ED＝AO＝﹣a，AE＝OB＝4，

故點(diǎn)D（a+4，a），

由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)可得，直線AD的表達(dá)式為：y＝a（x﹣a），

聯(lián)立AD與反比例函數(shù)表達(dá)式并整理得：ax2﹣a2x﹣16＝0，

△＝（﹣a2）2﹣4a×（16）＝0，解得：a＝﹣4（不合題意值已舍去）；

（Ⅱ）當(dāng)邊BC與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

同理可得：a＝﹣16，

所以當(dāng)正方形ABCD的邊與反比例函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為：﹣16＜a＜﹣4；

綜上所述，a的取值范圍是a＞2或﹣16＜a＜﹣4．