Question

已知AB是圓O的切線，切點(diǎn)為B，直線AO交圓O于C、D兩點(diǎn)，CD=2，∠DAB=30°，動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，PC交圓O于另一點(diǎn)Q．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），求AP的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有幾個(gè)位置（幾種情況）使△CQD的面積為？（直接寫出答案）

（3）當(dāng)△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時(shí)（如圖2），求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO=90°．

∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，

∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．

當(dāng)Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)，CP與⊙O相切于點(diǎn)C，如圖1，

則有∠ACP=90°，

∴cos∠CAP===，

解得AP=；

（2）有4個(gè)位置使△CQD的面積為．

提示：設(shè)點(diǎn)Q到CD的距離為h，

∵S_△CQD=CD•h=×2×h=，

∴h=．

由于h=＜1，結(jié)合圖2可得：

有4個(gè)位置使△CQD的面積為；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥CD于N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CD于M，如圖3．

∵S_△CQD=CD•QN=×2×QN=，∴QN=．

∵CD是⊙O的直徑，QN⊥CD，

∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，

∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，

∴△QNC∽△DNQ，

∴=，

∴QN²=CN•DN，

設(shè)CN=x，則有=x（2﹣x），

整理得4x²﹣8x+1=0，

解得：x₁=，x₂=．

∵CQ＞QD，∴x=，

∴=2+．

∵QN⊥CD，PM⊥CD，

∴∠PMC=∠QNC=90°．

∵∠MCP=∠NCQ，

∴△PMC∽△QNC，

∴==2+，

∴MC=（2+）MP．

在Rt△AMP中，

tan∠MAP==tan30°=，

∴AM=MP．

∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，

∴MP=，

∴AP=2MP=．