【題目】如圖,在△ABC中,ABAC10cm,BC16cm,DE4cm,線段DE(端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)EEFACAB于點(diǎn)F,連接DF,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t≥0).

1)用含t的代數(shù)式表示線段EF的長(zhǎng)度為

2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△DEF能否為等腰三角形?若能,請(qǐng)求出t的值;若不能,試說(shuō)明理由;

3)若點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn),請(qǐng)直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

【答案】(1)EFt+4)(cm);(2)當(dāng)t0、秒時(shí),△DEF為等腰三角形;(3)線段EF的中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為 m

【解析】

(1)因?yàn)槠叫校瑒tEFCABEBC,且BE,AC,BC邊易知,則EF可表示.
(2)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中使DEF為等腰三角形,則要考慮哪兩邊為腰,故要考慮三種情況,當(dāng)DF=EF時(shí),當(dāng)DE=EF時(shí),當(dāng)DE=EF時(shí).分別討論易根據(jù)三角形相似、邊成比例及(1)中EF的值得到關(guān)于t的方程,解得即可.
(3)求運(yùn)動(dòng)軌跡,首先要明白M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡到底是什么情況,畫圖易猜想,此軌跡為MN.而因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)中的EF都與AC平行,故利用邊成比例可得AN=CN,故運(yùn)動(dòng)過(guò)程中M點(diǎn)都在AC邊的中線上.因?yàn)槿切胃鬟呉阎夜潭,根?jù)勾股定理,相似等易得BN、BM,則MN可求.

(1)BDtcm,DE=4cm,

BEBD+DE=(t+4)cm,

EFAC,

∴△BEF∽△BCA,

EFCABEBC,

EF:10=(t+4):16,

解得:EFt+4)(cm);.

(2)分三種情況討論:

①∵當(dāng)DFEF時(shí),

∴∠EDFDEF,

ABAC

∴∠BC,

EFAC,

∴∠DEFC,

∴∠EDFB,

點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,

t=0;

,當(dāng)DEEF時(shí),

則4=t+4),

解得:t;

③∵當(dāng)DEDF時(shí),有DFEDEFBC,

∴△DEF∽△ABC

,

解得:t;

綜上所述,當(dāng)t=0、秒時(shí),DEF為等腰三角形.

(3)線段EF的中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為 m

分析如下:

如圖1,當(dāng)t=0秒時(shí),B、D重合,連接BM并延長(zhǎng),交AC于N,過(guò)點(diǎn)A作,APBC于P,過(guò)點(diǎn)N作NQBC于Q.
EFAC,
,
FM=ME,
AN=NC,
MN就是點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線.
在RtAPC中,
PC=BC=8cm,AC=10cm,
AP=6cm.
NQAP,
CQ=PC=4cm.
在RtBNQ中,
NQ=AP=3cm,BQ=BC-CQ=16-4=12cm,
BN=3cm.
,
,
解得 BM=cm,
MN=BN-BM=cm.

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