Question

【題目】已知：如圖，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，半徑為1的⊙B經(jīng)過點(diǎn)O，且與x，y軸分交于點(diǎn)A，C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣ ，0），AC的延長(zhǎng)線與⊙B的切線OD交于點(diǎn)D．

（1）求OC的長(zhǎng)和∠CAO的度數(shù)；
（2）求過D點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠AOC=90°，

∴AC是⊙B的直徑．

∴AC=2．

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣ ，0），

∴OA= ．

∴ ．

∴sin∠CAO= ．

∴∠CAO=30°

（2）

解：如圖，連接OB，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵OD為⊙B的切線，

∴OB⊥OD．

∴∠BOD=90°．

∵AB=OB，

∴∠AOB=∠OAB=30°．

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．

在△AOD中，∠ODA=180°﹣120°﹣30°=30°=∠OAD．

∴OD=OA= ．

在Rt△DOE中，∠DOE=180°﹣120°=60°，

∴OE=ODcos60°= OD= ，ED=ODsin60°= ．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．

設(shè)過D點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式為 ，

∴ ．

∴ ．

【解析】（1）在直角三角形ACO中，根據(jù)已知條件可以求得OA，AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得OC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求得∠CAO的度數(shù)；（2）要求反比例函數(shù)的表達(dá)式，需要求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．作DE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)對(duì)頂角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以求得∠ADO=30°．則OD=OA．從而求得OE，DE的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)的表達(dá)式．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解切線的性質(zhì)定理(切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑)．