【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí),發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AM⊥BN于點(diǎn)P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
(1)如圖1,當(dāng)tan∠PAB=1,c=4 時(shí),a= , b=;
如圖2,當(dāng)∠PAB=30°,c=2時(shí),a= , b=;
(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論.
(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn),且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點(diǎn)G,AD=3 ,AB=3,求AF的長.
【答案】
(1)4 ;4 ;;
(2)
解:結(jié)論a2+b2=5c2.
證明:如圖3中,連接MN.
∵AM、BN是中線,
∴MN∥AB,MN= AB,
∴△MPN∽△APB,
∴ = = ,
設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,
∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2,
b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2,
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2,
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2
(3)
解:如圖4中,在△AGE和△FGB中,
,
∴△AGE≌△FGB,
∴BG=FG,取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn),
同理可證△APH≌△BFH,
∴AP=BF,PE=CF=2BF,
即PE∥CF,PE=CF,
∴四邊形CEPF是平行四邊形,
∴FP∥CE,
∵BE⊥CE,
∴FP⊥BE,即FH⊥BG,
∴△ABF是中垂三角形,
由(2)可知AB2+AF2=5BF2,
∵AB=3,BF= AD= ,
∴9+AF2=5×( )2,
∴AF=4.
【解析】(1)解:如圖1中,∵CN=AN,CM=BM,
∴MN∥AB,MN= AB=2 ,
∵tan∠PAB=1,
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°,
∴PN=PM=2,PB=PA=4,
∴AN=BM= =2 .
∴b=AC=2AN=4 ,a=BC=4 .
故答案為4 ,4 ,
如圖2中,連接NM,
, ∵CN=AN,CM=BM,
∴MN∥AB,MN= AB=1,
∵∠PAB=30°,
∴PB=1,PA= ,
在RT△MNP中,∵∠NMP=∠PAB=30°,
∴PN= ,PM= ,
∴AN= ,BM= ,
∴a=BC=2BM= ,b=AC=2AN= ,
故答案分別為 , .
(1)①首先證明△APB,△PEF都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PN、PM,再利用勾股定理即可解決問題.②連接MN,在RT△PAB,RT△PMN中,利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PN、PM,再利用勾股定理即可解決問題.(2)結(jié)論a2+b2=5c2 . 設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題.(3)取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn),首先證明△ABF是中垂三角形,利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,∠AOC=30°,將一直角三角板(∠M=30°)的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊ON在射線OA上,另一邊OM與OC都在直線AB的上方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周.如圖2,經(jīng)過t秒后OM恰好平分∠BOC,則t= (直接寫結(jié)果)
(2)在(1)問的基礎(chǔ)上,若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí),射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,如圖3,那么經(jīng)過多少秒后OC平分∠MON?請說明理由;
(3)在(2)問的基礎(chǔ)上,那么經(jīng)過多少秒∠MOC=36°?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD中,∠B=60°,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊CD上.
(1)如圖1,若E是BC的中點(diǎn),∠AEF=60°,求證:BE=DF;
(2)如圖2,若∠EAF=60°,求證:△AEF是等邊三角形.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊,河寬為4千米,A、B兩村莊的直線距離 AB=10千米,A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米,計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸,M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn),求AM+BN的最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過第一象限的點(diǎn)和點(diǎn),且,過點(diǎn)作軸,垂足為,的面積為.
求點(diǎn)的坐標(biāo);
求直線的函數(shù)表達(dá)式;
直線經(jīng)過線段上一點(diǎn)(不與、重合),求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩人均從400米的環(huán)形跑道的A處出發(fā),各自以每秒6米和每秒8米的速度在跑道上跑步.
(1)若兩人同時(shí)出發(fā),背向而行,則經(jīng)過 秒鐘兩人第一次相遇;若兩人同時(shí)出發(fā),同向而行,則經(jīng)過 秒鐘乙第一次追上甲.
(2)若兩人同向而行,乙在甲出發(fā)10秒鐘后去追甲,經(jīng)過多少時(shí)間乙第二次追上甲.
(3)若讓甲先跑10秒鐘后乙開始跑,在乙用時(shí)不超過100秒的情況下,乙跑多少秒鐘時(shí),兩人相距40米.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某旅游景區(qū)上山的一條小路上,有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺(tái)階,下圖是其中的甲、乙兩段臺(tái)階的示意圖,圖中的數(shù)字表示每一級(jí)臺(tái)階的高度(單位:cm).請你用所學(xué)過的有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí),回答下列問題(數(shù)據(jù):15,16,16,14,14,15的方差,數(shù)據(jù):11,15,18,17,10,19的方差:
(1)分別求甲、乙兩段臺(tái)階的高度平均數(shù);
(2)哪段臺(tái)階走起來更舒服?與哪個(gè)數(shù)據(jù)(平均數(shù)、中位數(shù)、方差和極差)有關(guān)?
(3)為方便游客行走,需要陳欣整修上山的小路,對于這兩段臺(tái)階路.在總高度及臺(tái)階數(shù)不變的情況下,請你提出合理的整修建議.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx-k與反比例函數(shù) (k≠0)的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com