Question

如圖，⊙P與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（0，2）是⊙P與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B（，0）在x軸上，連接BP交⊙P于點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）寫出經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)（1，0）、點(diǎn)（-1，6）的拋物線的解析式；
（3）求直線AC的函數(shù)解析式；
（4）點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)B′，使B′OP相似于△AOD？若存在，求出符合條件的點(diǎn)B'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得OP=1，BO=2 2，CP=1．
在Rt△BOP中
∵BP²=OP²+BO²，
∴（BC+1）²=12+（2）²，
∴BC=2．

（2）設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則拋物線的解析式是：y=x²-3x+2．

（3）如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，CF⊥y軸于F．
在△PBO中，
∵CF∥BO，
∴=．
即=，
解得CF=．
同理可求得CE=．
因此C（-，）．
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0）．
把A（0，2），C（-，）兩點(diǎn)代入關(guān)系式，得
，
解得 ．
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2．

（4）如圖所示，在x軸上存在點(diǎn)B，使△BOP與△AOD相似．
∵∠OPB＞∠OAD，
∴∠OPB≠∠OAD．
故若要△BOP與△AOD相似，
則∠OBP=∠OAD．
又∵∠OPB=2∠OAD，
∴∠OPB=2∠OBP．
∵∠OPB+∠OBP=90°，
∴3∠OBP=90°，
∴∠OBP=30°．
因此OB=cot30°•OP=．
∴B₁點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）．
根據(jù)對(duì)稱性可求得符合條件的B₂坐標(biāo)（，0）．
綜上，符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)有兩個(gè)：
B₁（-，0），B₂（，0）．
分析：（1）在直角三角形BOP中，根據(jù)勾股定理列方程求解；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）要求直線AC的解析式，關(guān)鍵是求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，CF⊥y軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得CE、CF的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)C所在的象限寫出它的坐標(biāo)，從而根據(jù)待定系數(shù)法寫出直線的解析式．
（4）要使△BOP相似于△AOD，因?yàn)椤螼PB＞∠OAD，所以∠OBP=∠OAD，結(jié)合圓周角定理，得∠OPB=2∠OBP，從而求得∠OBP=30°，則OB=cot30°•OP=，即可寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性可以寫出點(diǎn)B的另一種情況．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了勾股定理、切割線定理、圓周角定理、平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定方法．要求能夠熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式．