Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Q（﹣1，3），A（0，4），點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以QP為腰作等腰Rt△QPH，當(dāng)OH+AH最小時(shí)，點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為_____．

Answer 1

【答案】1.5

【解析】

作QN、HM垂直于x軸于N、M，則△QNP≌△PMH，推出PN＝HM，QN＝PM，設(shè)OP＝x，得H（x＋3，x＋1），求出點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡即可解決問題．

解：作QN、HM垂直于x軸于N、M，

∵Rt△QPH是等腰三角形，

∴

又

∴

∵QP=PH

∴△QNP≌△PMH，

∴PN＝HM，QN＝PM，設(shè)OP＝x，得H（x+3，x+1），

∴H點(diǎn)在直線y＝x-2上運(yùn)動(dòng)，

即H點(diǎn)在直線HG上運(yùn)動(dòng)，

作A點(diǎn)關(guān)于直線y＝x-2的對(duì)稱點(diǎn)F，

連OF交于點(diǎn)E，

當(dāng)H點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)OH+AH最小，

令函數(shù)y＝x-2，x=0,得y=-2, 令函數(shù)y＝x-2=0,得x=2,

∴G（0，-2），B（2，0）

又k=1,

∴∠HBM=45°

可得∠AMN=45°，則∠FAG=45°

根據(jù)對(duì)稱性可知AG=GF，

∴∠AFG=45°

故GF⊥AG

∴GF=6

則F（6，2）

設(shè)直線OF解析式為y=k2x

把F（6，2）代入得2=6k2，

∴k2=-

∴直線OF解析式為y=- x

聯(lián)立函數(shù)y＝x-2，解得x=1.5，y=0.5

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.5，

故答案為1.5．