Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)D，交線段于點(diǎn)E，若．

①求直線的解析式；

②已知點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸l上，且縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且在l右側(cè)．點(diǎn)R是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）①過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，設(shè)直線BD的表達(dá)式為：y=k（x-4），求出直線AC的表達(dá)式，和BD聯(lián)立，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，證明△BDO∽△BEG，得到，根據(jù)比例關(guān)系求出k值即可；

②根據(jù)題意分點(diǎn)R在y軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)R在y軸左側(cè)時(shí)兩種情況，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，代入，

∴，解得：，

∴拋物線表達(dá)式為：；

（2）①過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，

∵B（4，0），

設(shè)直線BD的表達(dá)式為：y=k（x-4），

設(shè)AC表達(dá)式為：y=mx+n，將A和C代入，

得：，解得：，

∴直線AC的表達(dá)式為：y=2x+4，

聯(lián)立：，

解得：，

∴E（，），

∴G（，0），

∴BG=，

∵EG⊥x軸，

∴△BDO∽△BEG，

∴,

∵，

∴，

∴，

解得：k=，

∴直線BD的表達(dá)式為：；

②由題意：設(shè)P（s，），1＜s＜4，

∵△PQR是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴∠PQR=90°，PQ=RQ，

當(dāng)點(diǎn)R在y軸右側(cè)時(shí)，如圖，

分別過(guò)點(diǎn)P，R作l的垂線，垂足為M和N，

∵∠PQR=90°，

∴∠PQM+∠RQN=90°，

∵∠MPQ+∠PQM=90°，

∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，

∴△PMQ≌△QNR，

∴MQ=NR，PM=QN，

∵Q在拋物線對(duì)稱軸l上，縱坐標(biāo)為1，

∴Q（1，1），

∴QN=PM=1，MQ=RN，

則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線得：y=4，

∴P（2，4）；

當(dāng)點(diǎn)R在y軸左側(cè)時(shí)，

如圖，分別過(guò)點(diǎn)P，R作l的垂線，垂足為M和N，

同理：△PMQ≌△QNR，

∴NR=QM，NQ=PM，

設(shè)R（t，），

∴RN==QM，

NQ=1-t=PM，

∴P（，2-t），代入拋物線，

解得：t=或（舍），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（，）.