【題目】已知,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E是對角線BD延長線上一點(diǎn),AE=BD.將△ABE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<360°)得到△AB′E′,點(diǎn)B、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、E′.
(1)如圖1,當(dāng)α=30°時,求證:B′C=DE;
(2)連接B′E、DE′,當(dāng)B′E=DE′時,請用圖2求α的值;
(3)如圖3,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),點(diǎn)Q為線段B′E′上任意一點(diǎn),試探究,在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段PQ長度的取值范圍為 .
【答案】(1)證明見解析(2)45°(3)≤PQ≤4+2
【解析】試題分析:(1)、連接AC,B′C,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出得出AC=AE=2OA,根據(jù)Rt△AOE的性質(zhì)得出∠E=30°,然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△ADE和△AB′C全等,從而得出答案;(2)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△AEB′和△AE′D全等,從而得出∠DAE′=∠EAB′,然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出∠EAE′=∠BAB′,從而得到∠BAB′=∠DAB′,最后根據(jù)∠BAB′+∠DAB′=90°得出答案;(3)、點(diǎn)P作PM⊥BE,∵AB=4,點(diǎn)P是AB中點(diǎn),根據(jù)BP=2得出PM=;在旋轉(zhuǎn)過程中,△ABE在旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E在BA的延長線時,點(diǎn)Q和點(diǎn)E重合,然后求出PQ的長度,從而得出取值范圍.
試題解析:(1)如圖,連接AC,B′C, ∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,AC⊥BD,AC=BD=2OA,∠CAB=ADB=45°, ∵AE=BD, ∴AC=AE=2OA,
在Rt△AOE中,∠AOE=90°,AE=2OA, ∴∠E=30°,
∴∠DAE=∠ADB﹣∠E=45°﹣30°=15°, 由旋轉(zhuǎn)有,AD=AB=AB′∠BAB′=30°
∴∠DAE=15°,
在△ADE和△AB′C中, , ∴△ADE≌△AB′C,∴DE=B′C,
(2)如圖,
由旋轉(zhuǎn)得,AB′=AB=AD,AE′=AE,
在△AEB′和△AE′D中, ,∴△AEB′≌△AE′D,∴∠DAE′=∠EAB′,
∴∠EAE′=∠DAB′,由旋轉(zhuǎn)得,∠EAE′=∠BAB′,∴∠BAB′=∠DAB′,
∵∠BAB′+∠DAB′=90°,∴α=∠BAB′=45°,
(3)如圖,由點(diǎn)到直線的距離,過點(diǎn)P作PM⊥BE,∵AB=4,點(diǎn)P是AB中點(diǎn),
∴BP=2,∴PM= ,
在旋轉(zhuǎn)過程中,△ABE在旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E在BA的延長線時,點(diǎn)Q和點(diǎn)E重合,
∴AQ=AE=BQ=4 ∴PQ=AQ+AP=4+2,
故答案為≤PQ≤4+2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)A1 , A2 , A3 , A4和C1 , C2 , C3 , C4分別AB和CD的五等分點(diǎn),點(diǎn)B1 , B2和D1 , D2分別是BC和DA的三等分點(diǎn),已知四邊形A4B2C4D2的面積為1,則平行四邊形ABCD面積為( 。
A.2
B.
C.
D.15
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】武漢某天冬季的最高氣溫9℃,最低氣溫﹣3℃,這一天武漢最高氣溫比最低氣溫高( 。
A. 12℃ B. ﹣12℃ C. 6℃ D. ﹣6℃
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】1納米=10-9米,將50納米用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 50×10-9米B. 5×10-9米C. 0.5×10-9米D. 5×10-8米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校規(guī)定學(xué)生的學(xué)期數(shù)學(xué)成績滿分為100分,其中平時學(xué)習(xí)成績占30%,期末卷面成績占70%,小明的兩項(xiàng)成績(百分制)依次是80分,90分,則小明這學(xué)期的數(shù)學(xué)成績是( 。
A. 83分B. 86分C. 87分D. 92.4分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工人若每小時生產(chǎn)38個零件,在規(guī)定時間內(nèi)還有15個不能完成,若每小時生產(chǎn)42個零件,則可以超額完成5個,問:規(guī)定時間是多少?設(shè)規(guī)定時間為x小時,則可列方程為( 。
A. 38x﹣15=42x+5 B. 38x+15=42x﹣5 C. 42x+38x=15+5 D. 42x﹣38x=15﹣5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓O上的兩點(diǎn),且OD∥BC,OD與AC交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=72°,求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=13,AC=12,求DE的長.
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