Question

【題目】對于自變量為的函數(shù)，當(dāng)時，其函數(shù)值也為，則稱點(diǎn)為此函數(shù)的不動點(diǎn).若函數(shù)圖象上有兩個不動點(diǎn)、，.

（1）若，，，求函數(shù)的不動點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證；；

（3）若函數(shù)，，，當(dāng)時，

①求證：；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析（3）①證明見解析③證明見解析

【解析】

（1）先求出函數(shù)解析式，再令y=x2+2x=x，解x即可；

（2）證明出函數(shù)的最小值，根據(jù)不動點(diǎn)定義即可證明；

（3）①②進(jìn)行作差運(yùn)算，得到二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

（1）∵，，.

∴.

令

∴，即，.

∴，

（2）證明：∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

∵

∴

∵是不動點(diǎn)

∴.∴

∴

（3）①證明：令

∵是開口向上，與軸有兩個交點(diǎn)的二次函數(shù)

∴當(dāng)時，隨著增大而減小

∴當(dāng)時

∴.即

②證明：令的對稱軸

∴

∵

∴

由（2）得

∴即

∴當(dāng)時，

在時，隨著增大而增大

當(dāng)時

∴

當(dāng)時

∵當(dāng)時，對應(yīng)項相與當(dāng)時對應(yīng)項相等.

∴對應(yīng)

最大值只能由當(dāng)時，求當(dāng)時取得

∴當(dāng)時

隨著增大而增大

∴對應(yīng).

∴最大，則最大

∴