【題目】如圖，在四邊形中，是對角線，，，延長交的延長線于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接.設(shè)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)是否可能重合？若可能，請說明理由并求此時(shí)的值（用含的式子表示）；若不可能，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）可以重合，理由見解析，的最小值為.

【解析】

（1）運(yùn)用HL證明即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件可證出AB=BE，從而可得∠BAE=45°,再由角平分線的定義可得∠BAC的度數(shù)；

（3）連接，連接，延長交的延長線于點(diǎn).證明點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱，也即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，這三點(diǎn)共線，也即的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合.再證明為等邊三角形即可得到結(jié)論.

（1）證明：，

，，

.

.

（2），

又，

.

，

.

.

，

.

由（1）得，

.

.

（3）當(dāng)的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)可以重合，理由如下：

，

，.

，

.

.

.

由（1）得，，

，

.即平分.

又，，

.

連接，連接，延長交的延長線于點(diǎn).

設(shè)，則.

在中，.

在中，.

，

.

，

.

當(dāng)時(shí)，

，，

.

.

即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱，也即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，這三點(diǎn)共線，也即的值最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，也即.

所以，當(dāng)時(shí)，取最小值時(shí)的點(diǎn)與點(diǎn)重合.

此時(shí)的最小值即為.

，，，

.

.

.

，，三點(diǎn)共線.

當(dāng)時(shí)，在中，

.

∴ ∠EPA＝60°.

為等邊三角形

.，

.

.

，

.

的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向的B處，求此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離．（參考數(shù)據(jù)：≈2.449，結(jié)果保留整數(shù)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，在下列代數(shù)式中（1）a+b+c＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0； 其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，中，，，．

點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動．如果、分別從，同時(shí)出發(fā)，線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動時(shí)間；若不能說明理由．

若點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動，點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動，、同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，的面積為？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如圖1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，試判斷△ABC是否是”等高底”三角形，請說明理由．

（2）問題探究：

如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC關(guān)于BC所在直線的對稱圖形得到△A'BC，連結(jié)AA′交直線BC于點(diǎn)D．若點(diǎn)B是△AA′C的重心，求的值．

（3）應(yīng)用拓展：

如圖3，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，A′C所在直線交l2于點(diǎn)D．求CD的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①，四邊形OACB為長方形，A（﹣6，0），B（0，4），直線l為函數(shù)y＝﹣2x﹣5的圖象．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；

（2）若點(diǎn)P在直線l上，△APB為等腰直角三角形，∠APB＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

小明的思考過程如下：

第一步：添加輔助線，如圖②，過點(diǎn)P作MN∥x軸，與y軸交于點(diǎn)N，與AC的延長線交于點(diǎn)M；

第二步：證明△MPA≌△NBP；

第三步：設(shè)NB＝m，列出關(guān)于m的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

請你根據(jù)小明的思考過程，寫出第二步和第三步的完整解答過程；

（3）若點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)Q在線段AC上（不與點(diǎn)A重合），△QPB為等腰直角三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法中正確的序號是_____．

①△ABE的面積等于△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．

求證：△BEC≌△CDA；

（模型應(yīng)用）

（2）① 已知直線l1：y＝x＋8與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45至直線l2，如圖2，求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；

② 如圖3，長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，－6），點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P是線段BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是直線y＝－3x＋6上的動點(diǎn)且在y軸的右側(cè)．若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，∠AOB=60°，OA=OB，動點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是（　�。�

A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 平行、相交或垂直

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同步練習(xí)冊答案