分析 由矩形的性質(zhì)得出AB∥CD,∠B=90°,得出∠FCA=∠OAG,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF=CF,得出∠FAC=∠FCA,由直角三角形的性質(zhì)得出OG=$\frac{1}{2}$AE=AG,得出∠OAG=∠AOG=30°,求出∠FCA=∠FAC=30°,再由三角形內(nèi)角和定理得出①正確;求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°,得出△AEF是等邊三角形,②正確;由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出OA=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$OG,得出AC=2OA=2$\sqrt{3}$OG,③不正確;由中點的性質(zhì)得出S△AOG=$\frac{1}{2}$S△AOE,證明△AOE∽△ABC,得出$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$,得出S△AOG=$\frac{1}{6}$S△ABC,④正確,即可得出結(jié)論.
解答 解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∠B=90°,
∴∠FCA=∠OAG,
∵O為AC中點,EF⊥AC,
∴AF=CF,
∴∠FAC=∠FCA,
∵點G是AE中點且∠AOG=30°,
∴OG=$\frac{1}{2}$AE=AG,
∴∠OAG=∠AOG=30°,
∴∠FCA=∠FAC=30°,
∴∠AFC=180°-30°-30°=120°,①正確;
∵∠FAE=30°+30°=60°,∠AEO=90°-30°=60°,
∴∠AFE=60°,
∴△AEF是等邊三角形,②正確;
∵∠OAG=30°,EF⊥AC,
∴AE=2OE=2OG,
∴OA=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$OG,
∴AC=2OA=2$\sqrt{3}$OG,③不正確;
∵點G是AE中點,
∴S△AOG=$\frac{1}{2}$S△AOE,
∵∠AOE=90°=∠B,∠OAE=∠BAC,
∴△AOE∽△ABC,相似比為$\frac{OE}{BC}$=$\frac{OE}{\frac{1}{2}AC}$=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△ABC}}$=($\frac{\sqrt{3}}{3}$)=$\frac{1}{3}$,
∴S△AOG=$\frac{1}{6}$S△ABC,④正確;
故答案為:①②④.
點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算;本題綜合性強,有一定難度.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 9.8×104 | B. | 9.8×105 | C. | 98×103 | D. | 9.8×10-4 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0個 | B. | 1個 | C. | 2個 | D. | 3個 |
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