Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC=BC，D為⊙O中上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使CE=CD．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠CAB=∠CBA，∠E=∠CDE，根據(jù)∠CBA=∠CDA推出∠ECD=∠BCA，推出∠ECA=∠BCD，證△AEC和△BDC全等即可．
（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出∠ABC=45°，根據(jù)圓周角定理求出∠DCA=∠CBA=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F=45°，推出CF=CD，根據(jù)SAS證△ACF≌△BCD，推出AF=BD，根據(jù)勾股定理求出即可．
解答：證明：（1）在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圓周角相等），
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD．

（2）的結(jié)論應(yīng)該為AD+BD=CD
證明：作CF⊥CD，交DA的延長(zhǎng)線于F，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴O在AB上，∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CDA=∠CBA=45°，
∴∠F=180°-∠FCD-∠CDA=45°=∠CDA，
∴CF=CD，
∵∠FCD=∠ACB=90°，
∴∠FCA=∠BCD，
在△ACF和△BCD中
，
∴△ACF≌△BCD，
∴BD=AF，
∴AD+BD=AD+AF=DF，
在△DCF中，由勾股定理得：DF==CD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意證出△ACE≌△BCD，解題思路是求出證三角形全等的三個(gè)條件，題目比較典型，綜合性強(qiáng)．