Question

如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程；
（3）若將銳角△ABC變?yōu)殁g角△ABC，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DM、ME，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=

1

2

BC，ME=

1

2

BC，從而得到DM=ME，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠BME+∠CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接DM，ME，
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，
∴DM=

1

2

BC，ME=

1

2

BC，
∴DM=ME
又∵N為DE中點(diǎn)，
∴MN⊥DE；

（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A；

（3）結(jié)論（1）成立，
結(jié)論（2）不成立，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC，
=2（180°-∠A），
=360°-2∠A，
∴∠DME=180°-（360°-2∠A），
=2∠A-180°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．