(2012•新區(qū)二模)在圖形的全等變換中,有旋轉(zhuǎn)變換,翻折(軸對稱)變換和平移變換.一次數(shù)學(xué)活動課上,老師組織大家利用矩形進(jìn)行圖形變換的探究活動.
(1)第一小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn),在如圖1-1的矩形ABCD中,AC、BD相交于點(diǎn)O,Rt△ADC可以由Rt△ABC經(jīng)過一種變換得到,請你寫出這種變換的過程
將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后可得到△ADC
將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后可得到△ADC


(2)第二小組同學(xué)將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行操作:對折、展平,得折痕EF(如圖2-1);再沿GC折疊,使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處(如圖2-2),這樣能得到∠B′GC的大小,你知道∠B′GC的大小是多少嗎?請寫出求解過程.
(3)第三小組的同學(xué),在一個矩形紙片上按照圖3-1的方式剪下△ABC,其中BA=BC,將△ABC沿著直線AC的方向依次進(jìn)行平移變換,每次均移動AC的長度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如圖3-2.已知AH=AI,AC長為a,現(xiàn)以AD、AF和AH為三邊構(gòu)成一個新三角形,已知這個新三角形面積小于15
15
,請你幫助該小組求出a可能的最大整數(shù)值.

(4)探究活動結(jié)束后,老師給大家留下了一道探究題:
如圖4-1,已知AA′=BB′=CC′=2,∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°,請利用圖形變換探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′
3
的大小關(guān)系.
分析:(1)根據(jù)矩形是中心對稱圖形,可以將Rt△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到Rt△ADC而得出結(jié)論;
(2)連接BB',由題意得EF垂直平分BC,就有BB'=B'C,由翻折可得B'C=BC,從而△BB'C為等邊三角形.就可以求出∠B'CB=60°;
(3)分別取CE、EG、GI的中點(diǎn)P、Q、R,連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH,由BA=BC,根據(jù)平移變換的性質(zhì),就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形,就有DP⊥CE,F(xiàn)Q⊥EG,HR⊥GI,由勾股定理就可以求出HR2=
15
4
a2,從而得出新三角形三邊的值,從而得出結(jié)論;
(4)將△BOC'沿BB'方向平移2個單位,所移成的三角形記為△B'PR,將△COA'沿A'A方向平移2個單位,所移成的三角形記為△AQR.由條件可以得出△AQR為等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出△AQR的面積為
3
,從而就可以得出結(jié)論.
解答:解:(1)將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后可得到△ADC;
故答案為:將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后可得到△ADC.
(2)如圖2-2-1,連接BB',由題意得EF垂直平分BC,
∴BB'=B'C,由翻折可得,
∴B'C=BC,
∴△BB'C為等邊三角形.
∴∠B'CB=60°,
∴∠B'CG=30°,
∵∠GB′C=90°,
∴∠B'GC=60°;
(3)如圖3-1-1,分別取CE、EG、GI的中點(diǎn)P、Q、R,連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH,
∵BA=BC,根據(jù)平移變換的性質(zhì),
∴△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形,
∴DP⊥CE,F(xiàn)Q⊥EG,HR⊥GI,GR=EQ=CP=0.5a,DP=FQ=HR.
∵AC=a,
∴AI=4a.
∵AH=AI,
∴AH=4a,AR=3.5a.
∴AH2=16a2
在Rt△AHR中,AH2=HR2+AR2,
16a2=HR2+
49
4
a2,
HR2=
15
4
a2,
∴DP2=FQ2=HR2=
15
4
a2,
在Rt△ADP和Rt△AFQ中,由勾股定理,得
AD2=AP2+DP2=6a2,AF2=AQ2+FQ2=10a2,
∴AH2=AD2+AF2,
∴新三角形為直角三角形,
∴新三角形三邊長為4a、
6
a、
10
a.
其面積為:
1
2
6
10
a=
15
a2
15
a2<15
15

∴a2<15
∴a的最大整數(shù)值為3.
(4)如圖4-1-1,將△BOC'沿BB'方向平移2個單位,所移成的三角形記為△B'PR,
將△COA'沿A'A方向平移2個單位,所移成的三角形記為△AQS.連接PQ,
∵QR+PR=OC+OC',
∴Q、R、P三點(diǎn)共線.
∵OQ=OA+AQ=OA+OA'=AA'=2,OP=OB'+B'P=OB'+OB=BB'=2.且∠QOP=60°,
∴△OPQ為等邊三角形.
∴PQ=OQ=OP=2.
∵RP=OC′,QS=OC,
∴RP+QS=OC′+OC=CC′=2=PQ,
∴R、S重合.
∴S△QOP=
3
,
∵S△AOB+S△BOC+S△COA=S△AOB+S△B'PR+S△PQA<S△OPQ,
∴S△AOB+S△BOC+S△COA
3
點(diǎn)評:本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的運(yùn)用,翻折變換的運(yùn)用,平移變換的運(yùn)用,等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,三角形的面積公式的運(yùn)用.本題的綜合性較強(qiáng)要求學(xué)生熟練的運(yùn)用圖形變換解題是關(guān)鍵.
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3
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4
4
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(1)用列表或畫樹狀圖的方法寫出點(diǎn)Q的所有可能坐標(biāo);
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(1)求∠CAE的度數(shù); 
(2)求這棵大樹折斷前的高度AB.(結(jié)果精確到個位,參考數(shù)據(jù):
2
≈1.4,
3
≈1.7,
6
≈2.4)

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