Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D是三角形外一動(dòng)點(diǎn)，滿足∠ADB=60°，
（1）當(dāng)D點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，求證：DA+DC=DB；

（2）當(dāng)D點(diǎn)不在AC的垂直平分線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)D點(diǎn)在如圖的位置時(shí)，直接寫出DA，DC，DB的數(shù)量關(guān)系，不必證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線和等邊三角形的性質(zhì)可得AD=DC，∠ABD=30°，再由正弦定理可以證明DA+DC=DB；
（2）延長(zhǎng)DA到E，使得∠EBD=60，由已知可知△EBD是一個(gè)等邊三角形，再證明△EBD≌△CBD，得出EA=DC，從而證明BD=ED=EA+AD=DC+AD；
（3）可直接得DA，DC，DB的數(shù)量關(guān)系．

解答：證明：（1）點(diǎn)D只能在AC的下邊，容易得到BD是AC的中垂線，因此AD=DC，∠ABD=30°，
在三角形內(nèi)由正弦定理可以得到

AD

sin∠ABD

=

BD

sin∠BAD

，
可以很快得到BD=2AD=AD+AC；

（2）延長(zhǎng)DA到E，使得ED=BD，
又因?yàn)椤螦DB=60°
因此△EBD是一個(gè)等邊三角形，
所以BE=ED=BD，∠EBD=60°，
又因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，
所以AB=BC，∠ABC=60°，
所以∠EBA=∠DBC，
在△EBA與△DBC中，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

BE=BD ∠EBA=∠DBC AB=BC

，
所以△ABE≌△CBD（SAS），
因此EA=DC，
所以BD=ED=EA+AD=DC+AD；

（3）DC＜DA+DB．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線段垂直平分線和等邊三角形的性質(zhì)，同時(shí)考查了正弦定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，由于等邊三角形的特殊性第（2）題的結(jié)論在等邊三角形的其它邊同樣適用．