Question

（2012•臥龍區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，已 知A（2，0）、C（1，3

3

），將△OAC繞AC的中點旋轉180°，點O落到點B的位置，拋物線y=ax2-2

3

x經過點A，點D是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷點B是否在拋物線上；
（3）若點P是線段OA上的點，且∠APD=∠OAB，求點P的坐標；
（4）若點P是x軸上的點，以P、A、D為平行四邊形的三個頂點作平行四邊形，使該平行四邊形的另一個頂點在y軸上，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將A點的坐標代入y=ax²-2

3

x，即可得出拋物線的解析式；
（2）先根據旋轉的性質得出四邊形OABC是平行四邊形，OA=2，因此將C點向右平移2個單位即可得出B點的坐標，然后將B點的坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出B是否在拋物線上；
（3）先根據二次函數的性質求出頂點D的坐標，然后求出OB、AD的長，當∠APD=∠OAB時，可得出△APD∽△OAB，進而可得出關于AP，AD、OA、OB的比例關系式．設出P點的坐標，然后用P的橫坐標表示出AP的長，即可根據上面的比例關系式求出P點的坐標；
（4）根據平行四邊形的性質，分別以AP，AD，DP為對角線分三種情況進行分析即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2

3

x經過點A（2，0），
∴4a-4

3

=0，
解得a=

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

x²-2

3

x；

（2）∵將△OAC繞AC的中點旋轉180°，點O落到點B的位置，
∴△ACO≌△CAB，
∴AO=CB，CO=AB，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，且BC=OA．
∵A（2，0）、C（1，3

3

），
∴x_B=x_C+2=3，y_B=y_C=3

3

，
∴B（3，3

3

）．
將B（3，3

3

）代入y=

3

x²-2

3

x，等式成立，
∴點B在拋物線上；

（3）分別過點B、D作x軸的垂線，垂足分別為E、F，
由y=

3

x²-2

3

x，可求得頂點D的坐標為（1，-

3

），
∵B（3，3

3

），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，
tan∠BOE=

BE

OE

=

3 3

3

=

3

，
tan∠DAF=

DF

AF

=

3

2-1

=

3

，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
又∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB，
∴

AP

OA

=

AD

OB

．
∵OA=2，OB=

32+(3 3 )2

=6，AD=

(2-1)2+( 3 )2

=2，
∴AP=

AD

OB

×OA=

2

6

×2=

2

3

，
∴OP=2-

2

3

=

4

3

，
∴P（

4

3

，0）；

（4）設以P、A、D為平行四邊形的第四個頂點為Q，分三種情況進行討論：

①如圖1，以DP為對角線，此時QD=AP=1，因此OP=OA-AP=2-1=1，P點的坐標為（1，0）；
②如圖2，以AD為對角線，此時QD=AP=1，因此OP=OA+AP=2+1=3，P點的坐標為（3，0）；
③如圖3，以AP為對角線，此時D，Q兩點的縱坐標互為相反數，因此Q點的坐標為（0，

3

），由于AD與PQ平行且相等，將A點先向左平移1個單位，再向下平移

3

個單位得到點D，所以將Q點先向左平移1個單位，再向下平移

3

個單位得到點P，P點的坐標為（0-1，

3

-

3

），即（-1，0）．
因此共有3個符合條件的P點，其坐標為：（-1，0）或（1，0）或（3，0）．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識，綜合性較強，運用分類討論、數形結合的思想方法是解題的關鍵．