Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y₁=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求直線BC解析式y(tǒng)₂及拋物線的解析式；
（2）求x滿足什么條件時，y₁＜y₂；
（3）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出直線BC的表達(dá)式，然后又已知拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)B，C，代入求出解析式．
（2）畫出圖象，找到y(tǒng)₁在y₂下面時，x的取值范圍即可，也可聯(lián)立y₁、y₂的解析式，運(yùn)用不等式求解．
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)PQ∥AB時，此時根據(jù)PQ=AB=2，可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②②當(dāng)P、Q為對角頂點(diǎn)時，作PD⊥x軸于D點(diǎn)，此時根據(jù)AD=OB可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，繼而代入可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意得：直線BC為y₂=kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3=0，
解得：k=-1，
故直線BC的解析式為y=-x+3，
從而可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），
把B、C兩點(diǎn)代入y₁=x²+bx+c得，
解得：，
故拋物線的解析式為y₁=x²-4x+3．
（2）由圖可知：當(dāng)0＜x＜3時，y₁＜y₂．

（3）①當(dāng)PQ∥AB時，

則PQ=AB=2，
從而可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或-2，
當(dāng)x=2時，y=-1；
當(dāng)x=-2時，y=15，
故P₁為（2，-1），P₂為（-2，15），
②當(dāng)P、Q為對角頂點(diǎn)時，作PD⊥x軸于D點(diǎn)，

則有OB=BQ×cos∠QBO，AD=APcos∠PAD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AP=BQ，∠QBO=∠PAD，
∴AD=OB=3，
則可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)x=4時，y=3，
所以P₃為（4，3）．
綜上可得符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)有三個：P₁（2，-1），P₂（-2，15），P₃（4，3）．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在第三問，需要分類討論，不要漏解．