【題目】已知a,b,c分別是△ABC的三邊,當(dāng)m>0時,關(guān)于x的一元二次方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有兩個相等的實數(shù)根,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.

【答案】△ABC是直角三角形.理由見解析.

【解析】【試題分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,判斷=0,即Δ=4ma2-4m(c-b)(c+b)=4m(a2+b2-c2)=0, 即a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2,根據(jù)勾股定理的逆定理,得到△ABC是直角三角形.

【試題解析】

△ABC是直角三角形.理由如下:

原方程可化為(b+c)x2-2 ax+cm-bm=0,

Δ=4ma2-4m(c-b)(c+b)=4m(a2+b2-c2).

∵m>0,且原方程有兩個相等的實數(shù)根,

∴a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2.

∴△ABC是直角三角形.

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(2)如圖3,當(dāng)點E、B、C在同一條直線上,DM的延長線交CE的延長線于點N,其余條件不變,探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請直接寫出猜想.

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