Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點(diǎn)P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為（ ）

A.2
B.
C.2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：
設(shè)BE=x，則DE=3x，
∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2=BEDE，即AE2=3x2 ，
∴AE= x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2 ， 即62=（ x）2+（3x）2 ， 解得x= ，
∴AE=3，DE=3 ，
如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，連接A′D，PA′，
則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等邊三角形，
∵PA=PA′，
∴當(dāng)A′、P、Q三點(diǎn)在一條線(xiàn)上時(shí)，A′P+PQ最小，
又垂線(xiàn)段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3 ，
故選D．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，需要了解矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．