Question

點B與點A（-1，1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且P點在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，則存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，那么點P的坐標(biāo)為________．

Answer 1

（，±）
分析：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則根據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征知x₀²+3y₀²=4．首先，根據(jù)點A的坐標(biāo)求得點B的坐標(biāo)為（1，-1）；然后，利用三角形的面積公式S=absinC列出等式|PA|•|PB|sin∠APB=|PM|•|PN|sin∠MPN．即=；再根據(jù)兩點間的距離公式求得=，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=．易求y₀的值．
解答：解：∵點B與點A（-1，1）關(guān)于原點O對稱，∴點B的坐標(biāo)為（1，-1）．
若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則|PA|•|PB|sin∠APB=|PM|•|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴=，
∴=，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=．
∵點P在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，
∴x₀²+3y₀²=4，
∴y₀=±，
∴存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標(biāo)為（，±）．
故答案是：（，±）．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．此題涉及到的知識點有關(guān)于x、y軸對稱的點的坐標(biāo)特征，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積公式等．解題時，注意利用“數(shù)形結(jié)合”的性質(zhì)，很容易得知sin∠APB=sin∠MPN．