Question

（2012•德化縣一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，直徑AB=8，點(diǎn)P是直徑AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m，當(dāng)直線PQ交y軸于Q，交⊙O于C、D兩點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥y軸于G，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于F，連接DE．
（1）填空：∠CPB=

45

°；
（2）試探究：在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，PD²+PC²的值是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由；如果不變化，請求出這個(gè)值；
（3）如果點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動，當(dāng)△PDE的面積為4時(shí)，請你求出CD的長度．

Answer 1

分析：（1）利用圖象與x，y軸交點(diǎn)坐標(biāo)得出QO=PO，從而得出∠CPB的度數(shù)即可；
（2）根據(jù)PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，得出PD²+PC²=32即可；
（3）分別從當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)得出CD與CM的長度關(guān)系，進(jìn)而求出即可．

解答：（1）解：過點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m，
當(dāng)x=0，y=m，當(dāng)y=0，x=-m，
故QO=PO，
則∠CPB=45°；
故答案為：45；

（2）不變，
證明：如圖1，連接PE，EO，DO，
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴

DE

=90°，
∴DO⊥EO，
∴DE=

2

OD=4

2

，
∴PD²+PC²=32；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)，
S_△PDE=

1

2

PD×PE=

1

2

PD×PC=4，
故PD×PC=8，
又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，
∴CD=4

3

，
當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上，如圖2，
同理可得：
CD²=（PD-PC）²=32-16=16，
解得CD=4．
綜上所述，CD的長為4

3

或4．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合題，三角形的面積以及平方差公式應(yīng)用以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．