【題目】在矩形ABCD中,AB6,BC8,點EBC延長線上一點,且BDBE,連接DEQDE的中點,有一動點PB點出發(fā),沿BC以每秒1個單位的速度向E點運動,運動時間為t秒.

(1)如圖1,連接DP、PQ,則SDPQ_____(用含t的式子表示);

(2)如圖2,MN分別為AB、AD的中點,當t為何值時,四邊形MNQP為平行四邊形?請說明理由;

(3)如圖3,連接CQ,AQ,試判斷AQCQ的位置關系并加以證明.

【答案】(1)15t;(2)t5時,四邊形MNQP為平行四邊形;(3)AQCQ.

【解析】

(1)由勾股定理可求BD10,由三角形的面積公式和SDPQ(SBEDSBDP)可求解;

(2)t5時,可得BP5BE,由中位線定理可得MNBDMNBD5,PQBDPQBD5,可得MNPQMNPQ,可得結論.

(3)連接BQ,由等腰三角形的性質可得∠AQD+BQA90°,由直角三角形的性質可得DQCQ,∠DCQ=∠CDQ,由“SAS”可證ADQ≌△BCQ,可得∠AQD=∠BQC,即可得結論.

解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,AB6BC8,

BC8CD6

BD10

BDBE10

QDE的中點,

SDPQSDPE

SDPQ(SBEDSBDP),

故答案為15t

(2)t5時,四邊形MNQP為平行四邊形,

理由如下:∵M、N分別為AB、AD的中點,

MNBD,MNBD5,

t5時,

BP5BE,且點QDE的中點,

PQBD,PQBD5

MNPQMNPQ

∴四邊形MNQP是平行四邊形

(3)AQCQ

理由如下:如圖,連接BQ

BDBE,點QDE中點,

BQDE,

∴∠AQD+BQA90°

∵在RtDCE中,點QDE中點,

DQCQ

∴∠DCQ=∠CDQ,且∠ADC=∠BCD90°

∴∠ADQ=∠BCQ,且BCAD,DQCQ

∴△ADQ≌△BCQ(SAS)

∴∠AQD=∠BQC,且∴∠AQD+BQA90°

∴∠BQC+BQA90°

∴∠AQC90°

AQCQ

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