Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），且x、y滿足．

（1）矩形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是　 ．

（2）若D是AB中點(diǎn)，沿DO折疊矩形OABC，使A點(diǎn)落在點(diǎn)E處，折痕為DO，連BE并延長BE交y軸于Q點(diǎn)．

①求證：四邊形DBOQ是平行四邊形．

②求△OEQ面積．

（3）如圖2，在（2）的條件下，若R在線段AB上，AR＝4，P是AB左側(cè)一動點(diǎn)，且∠RPA＝135°，求QP的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B（﹣4，6）；（2）①見解析；②S△EOQ＝；（3）PQ的最大值為2+

【解析】

（1）由題意可求x=4，y=6，即可求點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）①由折疊性質(zhì)可得AD=DE，∠ADO=∠ODE，由三角形外角性質(zhì)可得∠ADO=∠DBE，可得OD∥BQ，即可證四邊形BDOQ是平行四邊形；②由題意可證△BFD∽△QCB，可得，可求,，由S△EOQ=SBDOQ-S△DEO-S△BDE可得△OEQ面積；

（3）連接RO，以RO為直徑作圓H，作HF⊥OQ于點(diǎn)F，由題意可得點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)R，點(diǎn)O四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)P在以點(diǎn)H為圓心，RO為直徑的圓上，則點(diǎn)P，點(diǎn)H，點(diǎn)Q三點(diǎn)共線時(shí)，PQ值最大，由勾股定理可求,即可求QP的最大值．

解：（1）∵x﹣4≥0，4﹣x≥0

∴x＝4，

∴y＝6

∴點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)C（0，6）

∴點(diǎn)B（﹣4，6）

故答案為（﹣4，6）

（2）①∵D是AB中點(diǎn)，

∴AD＝BD

∵折疊

∴AD＝DE，∠ADO＝∠ODE

∴∠DBE＝∠DEB

∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB

∴∠ADO+∠ODE＝∠DBE+∠DEB

∴∠ADO＝∠DBE

∴OD∥BQ，且AB∥OC

∴四邊形BDOQ是平行四邊形，

②如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BQ于點(diǎn)F，

∵AD＝3，AO＝4

∴DO＝＝5

∵四邊形BDOQ是平行四邊形，

∴BD＝OQ＝3，BQ＝DO＝5，

∴CQ＝CO﹣OQ＝3

∵AB∥CO

∴∠ABQ＝∠BQC，且∠BFD＝∠BCQ＝90°

∴△BFD∽△QCB

∴

∵DE＝BD，DF⊥BQ

，

∴SBDOQ＝12

∴S△EOQ＝SBDOQ﹣S△DEO﹣S△BDE＝

（3）如圖，連接RO，以RO為直徑作圓H，作HF⊥OQ于點(diǎn)F，

∵RA＝4＝AO

∴∠AOR＝∠ARO＝45°，RO＝

∵∠APR+∠AOR＝135°+45°＝180°

∴點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)R，點(diǎn)O四點(diǎn)共圓

∴點(diǎn)P在以點(diǎn)H為圓心，RO為直徑的圓上，

∴點(diǎn)P，點(diǎn)H，點(diǎn)Q三點(diǎn)共線時(shí)，PQ值最大，

∵∠HOF＝45°，HF⊥OQ，

∴∠FHO＝∠HOF＝45°，且OH＝

∴HF＝OF＝2，

∴QF＝OQ﹣OF＝3﹣2＝1

∴HQ＝

∴PQ的最大值為.