【題目】如圖,過點A(﹣1,0)、B(3,0)的拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸交于點C,它的對稱軸與x軸交于點E.

(1)求拋物線解析式;

(2)求拋物線頂點D的坐標(biāo);

(3)若拋物線的對稱軸上存在點P使S△PCB=3S△POC,求此時DP的長.

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)頂點D的坐標(biāo)為(1,4);

(3)DP的長為1或5.

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可求得解析式;

(2)把拋物線解析式化成頂點式,即可得出頂點坐標(biāo);

(3)求出△POC的面積,由三角形的面積關(guān)系得出PF=3,求出直線BC的解析式,得出F的坐標(biāo),再分兩種情況討論,即可得出DP的長.

試題解析:(1)將A(﹣1,0),B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c得:

解得:b=2,c=3,∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴頂點D的坐標(biāo)為(1,4);

(3)設(shè)BC與拋物線的對稱軸交于點F,如圖所示:

則點F的橫坐標(biāo)為1,

∵y=﹣x2+2x+3,

當(dāng)x=0時,y=3,∴OC=3,∴△POC的面積=×3×1=

∵△PCB的面積=△PCF的面積+△PBF的面積=PF(1+2)=3×,解得:PF=3,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a,則,解得:a=3,k=﹣1,∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,

當(dāng)x=1時,y=2,

∴F的坐標(biāo)為(1,2),∴EF=2,

當(dāng)點P在F的上方時,PE=PF+EF=5,∴DP=5﹣4=1;

當(dāng)點P在F的下方時,PE=PF﹣EF=3﹣2=1,∴DP=4+1=5;

綜上所述:DP的長為1或5.

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