Question

【題目】有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究同一平面直角坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)與（k≠0）的圖象性質(zhì)．

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)與（k≠0），當(dāng)k＞0時(shí)的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究．

下面是小明的探究過(guò)程：

（1）如圖所示，設(shè)函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為A、B，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣k，﹣1），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　；

（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)雙曲線(xiàn)上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)．

①設(shè)直線(xiàn)PA交x軸于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB交x軸于點(diǎn)N．求證：PM=PN．

證明過(guò)程如下，設(shè)P（m，），直線(xiàn)PA的解析式為y=ax+b（a≠0）．

則，解得：，

∴直線(xiàn)PA的解析式為　 　.

請(qǐng)你把上面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整，并完成剩余的證明．

②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，k）（k≠1）時(shí)，判斷△PAB的形狀，并用k表示出△PAB的面積．

Answer 1

【答案】(1) B（k，1）;(2)①見(jiàn)解析;②1﹣k2.

【解析】

（1）根據(jù)正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）①設(shè)，根據(jù)點(diǎn)P、A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)PA的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，由點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出MH的長(zhǎng)度，同理可得出HN的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一即可證出PM=PN；
②根據(jù)①結(jié)合PH、MH、NH的長(zhǎng)度，可得出△PAB為直角三角形，分k>1和0<k<1兩種情況，利用分割圖形求面積法即可求出△PAB的面積．

(1)由正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)A. B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，

∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為(k,1)，

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(k,1).

故答案為：(k,1).

（2）)①證明過(guò)程如下,設(shè),直線(xiàn)PA的解析式為y=ax+b(a≠0).

則

解得：

∴直線(xiàn)PA的解析式為

當(dāng)y=0時(shí)，x=mk，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(mk,0).

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖1所示，

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），

∴MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k．

同理可得：HN=k．

∴MH=HN，∴PM=PN．

②由①可知，在△PMN中，PM=PN，∴△PMN為等腰三角形，且MH=HN=k．

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，k）時(shí)，PH=k，∴MH=HN=PH，

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，∴△PAB為直角三角形．

當(dāng)k＞1時(shí)，如圖1，

S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM，

=MNPH﹣ONyB+OM|yA|，

=×2k×k﹣（k+1）×1+（k﹣1）×1，

=k2﹣1；

當(dāng)0＜k＜1時(shí)，如圖2，

S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM，

=ONyB﹣k2+OM|yA|，

=（k+1）×1﹣k2+（1﹣k）×1，

=1﹣k2．