Question

【題目】如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，點E為⊙G上一動點，CF⊥AE于F．當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：連接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂徑定理得到O為AB的中點，由G的坐標確定出OG的長，在直角三角形AOG中，由AG與OG的長，利用勾股定理求出AO的長，進而確定出AB的長，由CG+GO求出OC的長，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始終為直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，可得出當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長，在直角三角形ACO中，利用銳角三角函數定義求出∠ACO的度數，進而確定出所對圓心角的度數，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長．

詳解：連接AC，AG，

∵GO⊥AB，

∴O為AB的中點，即AO=BO=AB，

∵G（0，1），即OG=1，

∴在Rt△AOG中，根據勾股定理得：AO=，

∴AB=2AO=2，

又CO=CG+GO=2+1=3，

∴在Rt△AOC中，根據勾股定理得：AC=，

∵CF⊥AE，

∴△ACF始終是直角三角形，點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓，

當E位于點B時，CO⊥AE，此時F與O重合；當E位于D時，CA⊥AE，此時F與A重合，

∴當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長，

在Rt△ACO中，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，

∴度數為60°，

∵直徑AC=2，

∴的長為，

則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長．

故選B．